Wozu sind limes inferior und superior und wie benutze ich sie?

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3 Antworten

Eine monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen Limes (das ist eine Formulierung des Vollständigkeitsaxioms), der dann sowohl lim sup als auch lim inf ist.

Aber das ist nicht der Sinn der Definitionen von lim sup und lim inf, sondern in deren Definition geht es um die Konvergenz von Teilfolgen, so dass die Folge insgesamt gerade nicht monoton zu sein braucht.

Beispiel zur Anschauung : a(n) = sin( k π / 2 ) , k ∈ Z ist weder monoton steigend noch fallend noch konvergent (sondern unbestimmt divergent), es ist aber

lim sup a(n) = 1 (wegen der k = 1 + 4i, i ∈ Z) und

lim inf a(n) = -1 (wegen der k = 3 + 4i, i ∈ Z).,

denn die in Klammern bezeichneten Teilfolgen sind (konstant und daher trivial) konvergent.


...und welche Gleichung liegt dir nun vor, in der du n als ∞ behandelst? Recht neblig & mysteriös, passend zum spätherbstlichen Wetter... .

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Du suchst dir die Häufungspunkte der Folge. In der Regel sind es in den meisten Fällen nur zwei; sehr oft einer für die Teilfolge der geraden Glieder und einer für die ungeraden. Können natürlich auch viel mehr Häufungspunkte sein. Dann ist der größte Häufungspunkt der lim sup an und der kleinste Häufungspunkt lim inf an.

LG

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wenn man mehrere Häufungspunkte hat, nimmt man den größten bzw. den kleinsten

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