Wozu braucht man Determinanten oder Inversen in Bezug auf die Matrix?

2 Antworten

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Die Inverse zu erklären ist am einfachsten. Du musst dir nur merken, dass AA⁻¹ = E = A⁻¹A ist. Das ist so wie bei a*1/a = 1.

Somit kannst du ein lineares Gleichungssystem direkt lösen, wenn du die inverse Matrix A kennst:

   Ax = b       | A⁻¹ * 
A⁻¹Ax = A⁻¹b
Ex = A⁻¹b
x = A⁻¹b 

Die Determinante kann dafür verwendet werden, zu prüfen, ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist und zum Bilden der inversen Matrix:

A⁻¹ = 1/|A| * adj(A)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

Heißt es, wenn ich eine 2x2 oder 3x3 oder 17x17 Matrix habe, dass ich als aller erstes davon die Determinante bestimmen muss, um zu prüfen, ob diese Gleichungen lösbar sind? Das ist doch voll aufwendig, zumal bei höheren quadratischen Matritzen , sprich 4x4 keine Sarrus Regel mehr angewendet werden kann.

Die Zweite Sache, die du angesprochen hast; ,,Die Determinante kann dafür verwendet werden, zu prüfen, ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist und zum Bilden der inversen Matrix:''

Also, wenn ich eine 3x3 Matrix habe, und bestimme erstmal die Determinante, so ich bekomm eine Zahl dieser Determinante heraus: Wie soll ich jetzt weiter verfahren? Wie soll ich durch diese Zahl erfahren, Inversen ,basierend dadrauf , anzuwenden?

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@Angrodo

für 2x2 oder 3x3 Matrizen ist die Bestimmung der Determinante nicht aufwendig. 2x2 kann man die Bildung leicht auswendig lernen und bei 3x3 wendet man die Regel von Sarrus an. 

Okey, bei 17x17 wird es kompliziert, aber die Lösung des Gleichungssystems ist auch nicht so einfach (per Hand).

Man kann die Inverse auch mit dem LGS zugleich lösen. Einzeln würde man A = E so umformen, dass links die Einheitsmatrix und rechts die Inverse steht: A⁻¹A = A⁻¹E, E = A⁻¹

Wenn AE die hintereinandergeschalteten Matrizen A und E sind und mittels Gauß algorithmus (AE)x = b umgeformt wird. A⁻¹ von links heran multipliziert wird ergeben:

EA⁻¹ | A⁻¹b

Links steht die Einheitsmatrix, daneben die Inverse und daneben x.

Beim Lösen des LGS wird in der Zeilenstufenform auffallen, wie viele Lösungen es gibt.

Ich hoffe, ich habe das richtig in Erinnerung. Auf die Schnelle habe ich keinen Link im Internet gefunden, bei dem das ausführlicher gezeigt wird.

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@Angrodo

"Wie soll ich durch diese Zahl erfahren, Inversen ,basierend dadrauf, anzuwenden?"

Wie geschrieben, berechnet sich die Inverse aus dem Reziproken der Determinante multipliziert mit der Adjunkten. Lies dich hierzu am besten mal bei Wiki (oder wenn du eine bessere Seite kennst dort) ein: https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

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@Suboptimierer

*Oder die Einheitsmatrix wird vor der Umformung auf die andere Seite geschrieben. Das ist das, wo mich meine Erinnerung gerade im Stich lässt.

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@Suboptimierer

Du hast Vieles beantwortet, aber leider nicht  das: Wenn ich eine Determinante berechne, und dann eine Zahl für die Determinante heraushabe, was bedeutet das Ergebnis und was kann ich mit dieser Zahl anstellen?

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@Angrodo

Wikipedia ist mir zu kopliziert, weil viele wichtige Zwischenschritte weggelassen wurde... hilft mir als Einsteiger herzlich wenig.

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@Angrodo

Der Betrag der Zahl ist irrelevant. Es ist vorrangig entscheidend, ob die Determinante 0 ist. Ist sie 0, lässt sich das Gleichungssystem nicht eindeutig lösen.

Der Kehrwert der Determinante kann zur Berechnung der Inversen verwendet werden, wie oben angedeutet. Ein weiterer Nutzen ist mir nicht bekannt.

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@Angrodo

Ich empfehle dir "Lineare Algebra: Einführung, Grundlagen, Übungen" von Howard Anton. Sehr leicht verständlich und aufeinander aufbauend mit Übungen und Lösungen dazu, deren Schwierigkeitsgrad nicht zu hoch gewählt wurde.

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Mit Hilfe der Determinante |A| einer Matrix A kannst du feststellen, ob A invertierbar ist. Und wenn ich mich richtig erinner kann man damit auch feststellen, ob ein Gleichungssystem mit der Matrix A=v eindeutig lösbar ist.

Die Inverse A^-1 einer Matrix ist vergleichbar mit dem Kehrwert einer Zahl. Es gilt also A * A^-1 = 1. Genau wie bei 2 * 1/2 = 1.

Bei welchem Wissensstand bist du denn zur Zeit? Bist du noch in der Schule? Dann kannst du Determinanten und inverse Matrizen direkt wieder vergessen. Ich glaube jedenfalls nicht, dass die in der Schule auf dem Lehrplan stehen.

. Aber wie soll ich durch eine Zahl , die bei der Determinante herauskommt, bestimmen, ob dann die Matrix invertierbar ist oder nicht?

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@Angrodo

Wenn die Determinante = 0 ist, ist die Matrix nicht invertierbar. In allen anderen Fällen schon.

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@Comment0815

Ah so..... das habe ich nun verstanden!  Wenn bei der Determinante 0 Herauskommt, ist dann auch NICHT das LGS zu lösen mit Gauß?

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