Woran erkenne ich wann sich das Wachstumsverhalten einer Funktion ändert?

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3 Antworten

Laut Aufgabenstellung sollst Du ja grafisch lösen. Also ist es auf jeden Fall gut (wie Du es gemacht hast), sich den Grafen zeichnen zu lassen. Nun musst Du sehen(!), in welcher Art sich das Wachstum überhaupt ändert. In diesem Fall scheint die Pflanze immer größer zu werden, wenn auch irgendwann immer langsamer. Dann kann es nur noch darum gehen, die Schnelligkeit des Wachstums zu betrachten. Das bedutet, denjenigen Zeitpunkt herauszufinden, zu dem sich das Wachstum wieder verlangsamt. Das ist (vgl. Antwort von dongodongo) ein Wendepunkt. Den musst Du nun mit dem Taschenrechner bestimmen. Dies geht z.B. beim TI-89 mit dem Befehl "Inflection" im Grafik-Modus. Im Zweifelsfall dürfte ein Blick ins Handbuch des Rechners weiterhelfen. :-)

Ergebnis bei mir: t = 6,66

Ich würde wie dongodongo vorgehen, fürchte aber, dass der einen Fehler macht. Ich ließ die Maschine rechnen und denke am Ende, dass an der Aufgabenstellung etwas nicht stimmt.

Bist du sicher, was das "geteilt"-Zeichen (also " : ") deiner Funktion angeht?


Laut Maschine hat die Funktion

h(t):=3/(1/2 + 11/2 * e^(-(6/10)^2 * t)

(... War das wirklich deine Funktion? Diese von dongodongo angegebene Form entspricht jedenfalls deiner, nur mit Brüchen statt Dezimalzahlen ...)

die erste beiden Ableitungen:

dh(t) / dt = (594 e^(9 t/25))/(25 (e^(9 t/25)+11)^2);

d²h(t) /dt² = -(5346 e^(9 t/25) (e^(9 t/25)-11))/(625 (e^(9 t/25)+11)^3)

Problem: Keine dieser Ableitungen hat eine Nullstelle; h(t) hat weder Extrema noch Wendepunkte und überhaupt keine "besonderen Stellen" im Sinne der Kurvendiskussion. Da gibt es nichts zu erkennen.

Wenn es hieße:

h(t):=3 * (1/2 + 11/2 * e^(-(6/10)^2 * t)

wäre alles anders...

Das sind diese Aufgaben, wo versucht wird, Mathematik auf naturwissenschaftliche Sachverhalte anzuwenden.

Sei

h(t):=3/(1/2 + 11/2 * exp(-(6/10)^2 * t))

Eine einfachere Struktur ist hier besser,

h_(abcd)(t) := a/(b + c * exp(-dt)), wobei a,b,c,d, halt die obigen werte sind.

Differenzieren nach t liefert,

dh_(abcd)/dt = -a/(b + c * exp(-dt))^2 * (exp(-dt))(-d)

= (a * d * exp(-dt))/( b + c* exp(-dt))^2

Nochmaliges Differenzieren,

(d^2)h_(abcd)/d(t^2) = (-a * d^2 * exp(-dt))/( b + c* exp(-dt))^2 +(-2(a * d^2 * exp(-2d * t))/( b + c exp(-dt))^3)

= (-a * d^2 * exp(-dt)(b + cexp(-dt)) - 2 * a d^2 * exp(-2 dt))/(b + cexp(-dt))^3.

Setze nun den Zähler gleich 0, um den Wendepunkt zu bestimmen (biologisch: Hier ändert sich, wenn vorliegend, ob die pflanze wächst oder das-gegenteil-von-wächst-tut),

(-a * d^2 * exp(-dt)(b + cexp(-dt)) - 2 * a d^2 * exp(-2 d*t)) = 0,

Mit: u:= exp(-dt) < 1, da d > 0, t > 0, haben wir,

0=(-a * d^2 * u)(b + c* u) - 2 * a * d^2 * u^2

<=> 0 = -a * b * d^2 * u - a * c * d^2 * u^2 - 2* a * d^2 * u^2

<=> 0 = b * u + (2 + c) u^2

<=> u * (u + b/(2 + c)) = 0.

Resubstitution und nur die nicht-triviale Lösung,

u_n = -b/(2+ c) = exp(-dt) <=> t = - d^(-1) * log((-b)/(2+c)).

Einsetzen der Werte liefert dir dann die Zeit.

VG, dongodongo.

psychironiker 07.09.2014, 07:57

Vorsicht:

"Differenzieren nach t liefert,

dh_(abcd)/dt = -a/(b + c * exp(-dt))^2 * (exp(-dt))(-d)

= (a * d * exp(-dt))/( b + c* exp(-dt))^2"

Wo bleibt bei der inneren Ableitung der Faktor c ?

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dongodongo 07.09.2014, 08:46
@psychironiker

Ja, da ist irgendwo auch noch ein anderer Fehler (irgendwo wurde ein Vorzeichen verkorkst, denke ich...) drinnen. Ich rechne das heute noch mal mit Stift und Papier nach - da seh ich dann besser, was ich eigentlich mache, und ob's richtig ist.

Führt endlich LaTeX ein, hier!!!!

VG und danke für den Hinweis, dongodongo.

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dongodongo 07.09.2014, 09:03
@psychironiker

Ok, ich habe das nochmal nachgerechnet, und komme auf das schönere Ergebnis,

t = (log(c)-log(b))/d,

was, wenn man die Einheiten im Sinne der Physik wählen würde, insgesamt mehr Sinn macht. Irgendwo habe ich auch (aufgrund des fehlenden Faktors c) die exp(...)-Terme nicht richtig zusammenfassen können.

Bei so vielen Operationen schleichen sich manchmal Fehler ein.

Wäre dennoch froh, wenn jemand mal den von mireingeschlagenen Weg nachrechnet.

VG, dongodongo.

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