Woher weiß man, ob eine Zahl transzendent ist?

...komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Beweise (meist Liouville_number, Pi & e) findet man unter

https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

(auch dt. Version).

ABER schon bei primitiven Kombinationen 2er transz. Zahlen wie

Pi-e, Pi/e, Pi^Pi usw.

https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number#Possibly_transcendental_numbers )

gibt es bis heute keine exakten Beweise! Das zeigt die Kompliziertheit dieses Themas!

Genau genommen sind das alles Ergebnisse hypergeometrischer Funktionen, nur das die Übergabeparameter (Argumente der Funktion) andere sind!

Man weiß zwar, dass es unendlich viele Nachkommastellen sind (bis auf wenige Spezialfallausnahmen; da es unendliche Summen sind), aber nicht genau, wie sich diese verhalten.

Es gibt auch eine Konstante, die stimmt mit über 18000 Stellen von Pi überein, ist ABER NICHT Pi, sonder eine andere, die dicht daneben liegt. Für Beweise reicht das nicht!

Bei (1+9^(–4^(7*6)))^3^2^85 stimmen etwa 18457734525360901453873569 Stellen mit e überein!

Bei https://de.wikipedia.org/wiki/Catalansche_Konstante

ist nicht mal die Irrationalität bewiesen -> geschweige die Trans....

Einfach? Nein. Aber es geht:

"
In der Mathematik heißt eine reelle Zahl (oder allgemeiner eine komplexe Zahl) transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines (vom Nullpolynom verschiedenen) Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.

Für einen Mathematiker der die ganzen Begriffe und deren Definitionen kennt, ist das sinnig - für Ottonormal vermutlich nur die gegoogelte Definition von "transzendale Zahl".

Tja -- so ist das ;)

PWolff 25.02.2017, 17:17

Es ist definierbar - aber ist es auch für jede reelle Zahl nachweisbar? Immerhin gibt es davon mehr als es (in endlicher Zeit durchführbare) Beweise gibt.

1
Melvissimo 25.02.2017, 19:58
@PWolff

Interessante Frage. Wenn mich meine Intuition nicht täuscht, sollte es ohnehin nur abzählbar viele Beweise geben, oder? Insofern ist es zwecklos, für jede Zahl einzeln zu prüfen, ob sie algebraisch ist, selbst wenn man beliebig viel Zeit hätte...

Man könnte sich fragen, ob es eine endliche Partition P der reellen Zahlen gibt, sodass jede Klasse K in P entweder nur algebraische oder nur transzendente Zahlen enthält und sodass man für jede Klasse K dies auch beweisen kann.

Offensichtlich ist P = {{algebraische Zahlen}, {transzendente Zahlen}} so eine Partition, aber damit ist uns irgendwie nicht geholfen...

Ich habe mich bis jetzt noch nie gefragt, ob es eine nützliche solche Partition gibt.

0

Indem man beweist, daß sie keine algebraische Zahl ist.

Was möchtest Du wissen?