Woher kommt hier plötzlich "k", und wie steht dieses "k" zu anderen Buchstaben in diesem Beispiel?

 - (Mathematik, Bedeutung, Formel)

3 Antworten

Hallo,

die ersten n Kubikzahlen sind 1; 8; 27;...;n³.

Summierst Du sie, bekommst Du die Summe 1³+2³+3³+...+n³.

Wäre n=6, würdest Du die ersten 6 Kubikzahlen addieren; wäre n=1000, würdest Du die ersten 1000 Kubikzahlen addieren.

Nun kannst Du 1³+2³+3³+....+n³ auch anders schreiben, indem Du das Summenzeichen Σ benutzt.

Statt 1;2;3 usw. nimmst Du einfach den Buchstaben k (oder einen anderen Buchstaben) und schreibst etwa für die Summe der ersten n Kubikzahlen anstatt
1³+2³+3³+...+n³ einfach Σ k³.

Unten an das Summenzeichen schreibst Du zum Beispiel k=1, was bedeutet, daß der erste Summand 1³, also 1 ist.

Oben schreibst Du dann den letzten Summanden hin, der soll n³ sein, also schreibst Du oben ein n hin.

Da es sich bei dem n um eine schon vorher festgelegte Grenze handelt, bis zu der aufsummiert wird, bei k aber um eine Größe, die von der unteren Grenze bis n alle natürlichen Zahlen durchläuft, muß man diese beiden Buchstaben natürlich unterscheiden.

Du kannst n nicht zum einen für die Obergrenze einsetzen und dasselbe n gleichzeitig von 1 (oder einer anderen natürlichen Zahl) bis n durchlaufen lassen, das gäbe Chaos.

Das k taucht hier also auf, weil es ein Bestandteil der besonderen Summenschreibweise ist. Natürlich funktioniert die Summenschreibweise nur, wenn die Summanden einem bestimmten Muster folgen. So etwas wie

2+27+3+900+8+235478 kannst Du nicht durch einen Ausdruck mit Σ ersetzen.

Das Summenzeichen ist im Grunde eine Rechenanweisung, die besagt:

Setze in den Term, der hinter dem Summenzeichen steht, für jedes darin auftauchende k der Reihe nach alle natürlichen (oder ganzen) Zahlen von der kleinsten angefangen, die unten am Summenzeichen angegeben ist, bis zur größten, die oben angegeben ist, ein und addiere die einzelnen Terme.

Σ 2k von k=3 bis k=8 wäre etwa die Summe
2*3+2*4+2*5+2*6+2*7+2*8 oder nach Ausklammern der 2:

2*(3+4+5+6+7+8)=66.

Zu manchen dieser Reihen kann man eine sogenannte Summenformel finden, die einem das ewige Addieren erspart und mit der man direkt die Summe vom kleinsten bis zum größten Term berechnen kann.

Die bekannteste Summenformel ist der sogenannte 'kleine Gauß':

1+2+3+...+n=n*(n+1)/2.

n ist dabei die höchste Zahl der Summe.

So kannst Du die Summe der ersten 10 natürlichen Zahlen, also

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 entweder nacheinander ausrechnen, also

1+2=3+3=6+4=10 usw, bis Du bei 10 angekommen ist, oder Du setzt n=10 direkt in die Summenformel ein: 10*(10+1)/2=55.

Carl Friedrich Gauß soll der Legende nach diese Formel als Grundschüler entwickelt haben, als ihm die Aufgabe gegeben wurde, die ersten 100 Zahlen zu addieren.

Er hatte nach kurzer Zeit das Ergebenis: 100*(100+1)/2=5050.

Genau das kommt heraus, wenn Du 1+2+3+...+98+99+100 addierst.

Gauß' Trick dabei:

Er hatte die ganze Summe noch einmal in umgekehrter Reihenfolge unter die Originalsumme geschrieben, unter 1+2 usw. also 100+99...

So kam er auf 100 Paare, die jeweils 101 ergaben, denn die 100 stand unter der 1, die 99 unter der 2, die 98 unter der 3 usw.

100*101=10100. Da das aber die doppelte Summe ist, muß das Ganze noch durch 2 geteilt werden; so kommt man auf 5050.

Die Summenformel für die Kubikzahlen von 1 bis n ist lustigerweise der 'kleine Gauß' zum Quadrat, also n²*(n+1)²/4.

So ist die Summe der ersten 4 Kubikzahlen Σk³ (k=1 bis 4) 1+8+27+64=100

oder mit Hilfe der Summenformel mit n=4: 16*5²/4=100.

Herzliche Grüße,

Willy

du kannst für k jetzt beliebige Zahlen einsetzen; die hätten auch einen anderen Buchstaben nehmen können;

die Formel sagt aus zB für k= 4

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 4²(4+1)² / 4

kannst ja mal nachrechnen, ob es stimmt;

dann für k=5 usw.

ich seh kein k :D

ganz normale aufgaben

Brille? Fielmann.

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