Wo sind die Nullstellen von y=x^3+4x^2-3x+2?

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6 Antworten

Die Nullstelle ist seeeeehr hässlich und mit Schulmethoden kommst du da nicht ran. Das Problem ist nämlich, dass die einzigen rationalen Nullstellen Teiler von 2 sein müssen, du hast also als einzige mögliche rationale Nullstellen -2, -1, 1, 2, die alle nicht funktionieren, also sind ALLE Nullstellen irrational.

Wie bekommt man die Nullstelle raus? Ich hatte keine Lust mich dadurch zu kämpfen, du musst durch eine geeignete Substitution erst einmal die Gleichung in die Form t³ + at + b = 0 bringen, die kann man schonmal besser Lösen. Die substitution die das für dich erledigt ist t = x + 4/3, dann hast du die Gleichung t³ - 25/3 t + 290/27 = 0. Ab hier kannst du die Cardanische Formel langgehen, arbeite dich schritt für Schritt durch den Wikipedia-artikel durch und du kommst auf die Lösung. Wie gesagt, alles WEIT über Schulstoff, wenn das eine Hausaufgabe war, hast du die Gleichung vielleicht falsch abgeschrieben oder du sollst die Lösung schätzen, das Newtonverfahren findet sehr schnell eine sehr präzise numerische Lösung (-4.725 +- 0.001).

LG

Leider hast Du nicht geschrieben, welche Klassenstufe und ob Du komplexe Zahlen schon hattest. Bis zur Klasse 11 stellen Lehrer nur leichte Spezialfall-Aufgaben, wo man die erste Nullstelle leicht erraten kann! (dann Polynomdivision usw.)

So ab 11. Klasse bis Anfang Studium kommen die Näherungsverfahren wie Bisektion und Newton Näherung.

Nur wenige kennen jedoch die exakten Cardanischen Formeln und die PQRST-Formel (komplexe Zahlen) wie http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

siehe Bild (und dortigen LINK zur Formel)

x1=(-(5*5^(2/3))/(29-6 sqrt(6))^(1/3)-(5 (29-6 sqrt(6)))^(1/3))/3-4/3

x1=-4.72457672763184852172535685948068591139286752967854...

x2 und x3 sind komplex.

Hinweise: sqrt(x)=Wurzel (x)=x^(1/2)

x^(1/3)=3. Wurzel von x 

i = sqrt(-1)=(-1)^(1/2)

2 Kubische Lösungsformeln - (Mathe, Nullstellen)

Mit Polynomdivision wirst du hier auch nicht weiter kommen, da du dazu eine Nullstelle raten musst. Diese Funktion besitzt nur eine Nullstelle, die zwischen -4 und -5 liegt. Ich würde hier ein numerisches Verfahren benutzen (z.B. das Newton-Verfahren).

Bist du sicher, dass du richtig abgeschrieben hast?
Wenn das Absolutglied nämlich -2 heißt, kann man eine Nullstelle vermuten, sogar eine sehr schöne ganzzahlige.

Die anderen beiden sind dann zwar etwas unbequeme Wurzelausdrücke, aber das macht dann ja nicht soviel aus.
p,q wird's schon richten.

Ich habe diese Funktion frei erfunden, weil bei einem Einstellungstest so eine ähnliche Aufgabe dran kam mit den selben Potenzen, die konnte ich leider nicht um Kopf behalten. Aber auf jeden Fall kam ich da nicht mit Ausklammern, Substitution und Mitternachtsformel oder pq formel weiter. Obwohl ich in Mathe recht gut bin wusste ich nicht wie es weiter geht. Ich will wissen wie ich bei so einem Aufgabentyp die Nullstellen finde

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@xzxLukasxzx

Na, du bist mir einer!
Und da lässt du hier die Koryphäen schwitzen.

Bei der von mir vorgeschlagenen Funktion kannst du durch "Raten" schnell ermitteln, dass eine Lösung 1 sein muss. Dann musst du die Funktion durch den Linearfaktor (x - 1) dividieren und erhältst eine quadratische Funktion, die mit (p,q) zu lösen ist. Ich nehme an, das kannst du. Sonst mach erst mal und frag dann nochmal.

"Mitternacht" geht auch, dabei ist dann a = 1.

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@Volens

Mit dem "Raten" verhält es sich so:
als ganzzahlige Teiler können in -2 drinstecken:
{ 1; -1; 2; -2)
Entweder ist es einer von diesen oder gar kein ganzzahliger. In dieser (meiner!) Aufgabe wird man schon beim Einsetzen von 1 fündig.

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@xzxLukasxzx

Wenn du eine solche Aufgabe mit bekannten Lösungen erfinden willst, gehst du am besten von den Lösungen aus.

Sollen die Nullstellen x1, x2 und x3 sein, multiplizierst du folgenden Ausdruck aus:

(x - x1) * (x - x2) * (x - x3)

(x1, x2 und x3 müssen nicht unbedingt alle verschieden sein. Dann bekommst du ein Polynom mit "mehrfachen Nullstellen".)

Falls nur eine einzige Nullstelle vorhanden sein soll, nimmst du

(x - x1) * (x^2 + p * x + q)

mit p^2 - 4 q < 0

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pq formel oder abc formel

Sieht nach Polynomdivision aus!

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