Wo kommt bei der Formel für den Rauminhalt einer Kugel das 4/3π her?

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4 Antworten

Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse

V=pi*Integral(f(x)^2 *dx

Pythagoras c^2=a^2+b^2 ergibt

mit r^2=x^2+y^2 ergibt y=f(x)=Wurzel(r^2-x^2) eingesetzt

V=pi*Int.( (r^2-x^2)*dx)=pi*Int.(r^2*dx-x^2*dx)

V=pi*(r^2*x -1/3*x^3 +C

V=obere grenze - untere Grenze xu=0 und xo=r

V= pi*r^2*r - 1/3 * r^3) - (0)=2/3*r^3 dies ist aber nur eine Halbkugel!

V=2/3*pi * r^3 * 2=4/3 *pi * r^3

Hinweis : Die Mitte der Kugel wurde in den Ursprung gelegt (xu=) 

Kennst du den Satz von Cavalieri?

Damit kann man sich das Volumen einer Halbkugel mit einem Vergleichskörper eines Zylinders mit ausgeschnittenem Kegel herleiten.

LG Willibergi

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