Wo ist der Widerspruch?

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9 Antworten

Legen wir die Situation genauer aus:

  1. Die Schüler haben durch rationales Denken geschlossen, es komme an keinem Tag die Prüfung. Die Schüler erwarten also an keinem Tag die Prüfung. Das Schlussfolgern sie in der Woche davor. Und sie erwarten somit in der kommenden Woche an keinem Tag eine Prüfung.
  2. Der Lehrer gibt eine Prüfung am Dienstag.
  3. Aus 1+2 sind die Schüler am Dienstag überrascht.
  4. Aus 2+3 sind die Worte des Lehrers somit erfüllt.

Um ein Paradox zu sein müssten die Schüler hingegen folgendermaßen bei Schritt 1 etwas anderes machen:

  1. Die Schüler kündigen dem Lehrer an: an jedem Tag x ∈ [So, Do], falls die Prüfung nicht am Tage x gefallen ist, werden wir ggf. unsere bisherigen Erwartungen revidieren und gespannt erwarten, dass die Prüfung am darauf folgenden Tag (x+1) fällig sei.
  2. Der Lehrer überlegt sich: sei x∈ [Mo, Fri]. Falls ich den Tag x₀ als Prüfungstermin setze, so passiert am Tag x₀–1, dass die Schüler ihre Erwartungen aufbauen werden, dass die Prüfung am Tag x₀ stattfinden werde, und damit wird es am Tag x₀ keine Überraschung sein. Der Lehrer folgert, es gebe keinen Tag, an dem die Prüfung stattfinden kann, so dass es für die Schüler eine Überraschung sein wird.
  3. Die Schüler wissen dies auch, und schlussfolgern dasselbe.
  4. Solange die Schüler an ihrer Strategie festhalten, so kann gilt noch 2+3 und Lehrer kann seine Worte nicht erfüllen—auch nicht, wenn er die Prüfung am Dienstag veranstaltet.

Es ist also entscheidend, ob die Schüler diese Strategie anwenden oder nicht. Die erste Version entspricht dem, was im Text steht. In der Version handelt es sich also um kein Paradoxon.

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Kommentar von kreisfoermig
08.09.2016, 12:45

sorry, ich hätte schreiben sollen:

Es ist also entscheidend, ob die Schüler ihre Erwartungen tagtäglich revidieren können/dürfen.

Wenn die Schüler ihre Erwartungen immer anpassen können, so gibt es (wie gezeigt) einen Weg, damit der Lehrer seine Worte nicht einhalten kann.

Wenn in der Woche davor eine Erwartung ein für alle Mal festgelegt werden soll, so kann der Lehrer seine Worte durchaus erfüllen. Darin ist kein Paradoxon. Die Schüler haben einfach in Schritt 1 sich komplett falsch überlegt. Sie haben diese Bedingung der „ein für alle Mal Festlegung der Erwartungen“ in ihrer Argumentationsweise gar nicht berücksichtigt. Die Schüler haben also bei dem Schritt schlichtweg ungültig argumentiert.

Bei der Bedingung der einmaligen Festlegung von Erwartungen muss man bei dem Spiel anders vorgehen. Da kommen bspw. stochastische Strategien in Frage (siehe [Willy1729]).

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Kommentar von kreisfoermig
09.09.2016, 15:06

Danke für den Stern. Wie gesagt, dass es kein Paradoxon ist, liegt an der falschen Argumentationsweise der Schüler. Das ist alles was man meinem Beitrag entnehmen kann: dass es kein Widerspruch ist. Wie die Schüler sich bei ihrer Argumentationsweise irren… dafür sollte man [Roach5]s Beitrag durchlesen.

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Hallo,

stell Dir eine Urne mit vier weißen und einer schwarzen Kugel vor. Jeden Tag wird blind eine Kugel gezogen und nicht wieder zurückgelegt. Sollten also bis Donnerstag nur weiße Kugeln gezogen worden sein, wüßte man tatsächlich, daß am Freitag die schwarze an der Reihe ist. Dies ist aber der einzige Fall. An allen anderen Tagen und in allen anderen Fällen ist die Chance, daß die schwarze Kugel gezogen wird, weniger als 1, also ist es nicht sicher.

Montag liegt die Wahrscheinlichkeit noch bei 1/5, Dienstag - falls schwarz noch nicht dabei war und noch drei weiße und eine schwarze im Spiel ist, bei 1/4, Mittwoch bei 1/3, Donnerstag bei 1/2 - falls sie bis dahin nicht gezogen wurde. Außer am Freitag und unter der Bedingung, daß die schwarze bis zuletzt im Spiel bleibt, ist an keinem Tag die Wahrscheinlichkeit von 1 und damit Gewißheit gegeben.

Wird die Arbeit zum Beispiel am Dienstag geschrieben, ist es für die Schüler eine Überraschung.

Wäre es anders, könntest Du unbesorgt Russisches Roulette spielen und müßtest nur darauf achten, daß Du nicht die letzte Kugel in der Trommel erwischst, die nach der Theorie der Schüler dann die einzige scharfe wäre.

Herzliche Grüße,

Willy

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Für dieses Paradoxon gibt es viele Erklärungsversuche, und die Frage ist nicht komplett geklärt, aber eine sehr plausible Erklärung ist die, dass der Gefangene (die Schüler in diesem Fall) einfach eine falsche Logik verwendet hat.

Was die Schüler machen ist quasi eine Rückwärtsinduktion: Sie fangen mit Freitag an und bauen sich von daher mit analogen Argumenten bis Montag voran, um schließlich alle Tage auszuschließen. Der Induktionsschritt ab dem zweiten Tag ist korrekt, aber der Induktionsanfang bzw. erste Induktionsschritt nicht.

Es handelt sich im Induktionsanfang um die folgenden drei Aussagen: "Es ist Freitag", und die Aussage des Lehrers, nämlich "Die Arbeit wird zwischen Montag und Freitag geschrieben werden" und "Ihr werdet überrascht sein".

Die Schüler fangen jetzt an, zu folgern, nachdem sie einen Widerspruch erkannt haben, aber aus Falschem folgt Beliebiges (ex falso quodlibet). Der Widerspruch war ja, dass entweder die Arbeit am Freitag nicht geschrieben werden würde oder die Schüler nicht überrascht wären. Der Lehrer hätte gelogen, hier wird jetzt weitergefolgt.

Wir haben also insgesamt gefolgert "Wenn die Arbeit bis Freitag noch nicht geschrieben wurde, dann sind wir nicht überrascht".

Diese Aussage ist zwar wahr, aber setzt voraus, dass die Arbeit noch nicht bis spätestens Donnerstag geschrieben wurde. Wird die Arbeit Montags, Dienstags, Mittwochs oder Donnerstags geschrieben, werden wir überrascht sein, denn wir hatten noch nicht die Zeit, am Freitag unüberrascht zu sein. Das ist ein sehr großes Problem, wenn man entgegengesetzt der Zeit argumentiert. Man muss nämlich höllisch aufpassen, dass man solchen logischen Fallen entgeht.

Das war der pur logische Weg. Eine philosophisch-logische Ansicht ist, dass die Aussage, der Lehrer würde die pure Wahrheit sagen, ungerechtfertigt ist. Argumentiert wird in einer fiktiven Welt, in der die Aussage des Lehrers keine Lüge sein kann. Es ist aber durchaus der Fall, dass der Lehrer gelogen hat, und wir trotzdem überrascht sind. Hier hört die Folgerung bereits auf, denn alle Konklusionen benutzen, dass der Lehrer "die" Wahrheit sagt, um weitere Erkenntnisse zu gewinnen.

LG

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Das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung (das ist die Originalfassung) ist eines der härteren Paradoxa und soweit ich weiß noch nicht 100% analysiert. Wenn ich die ganzen Erklärungen im Internet richtig versteh, kommt der Widerspruch (in deiner Version, also dass die Aussagen des Lehrers wahr sind) daher, dass die Schüler von was Falschem ausgehen, und zwar dass die Klassenarbeit bis Freitag nicht geschrieben wurde und sie damit nicht mehr überrascht sein und sicher sein können. Das muss aber nicht stimmen, und damit fällt die ganze Argumentation zusammen (aus etwas Falschem kann man alles folgern). 

Ein anderer Lösungsansatz fängt damit an, dass eine der Aussagen (Arbeit irgendwann von Montag bis Freitag oder die Schüler sind überrascht) schon falsch ist, und man auch wieder aus was Falschem alles folgern kann. 

100% sicher bin ich mir da auch nicht, obwohl ich Mathe studier sind die Erklärungen recht krass.

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Da ist kein Widerspruch.

Die ganze logische Schlussfolgerungskette beginnt mit der Annahme, das die Arbeit am Freitag noch nicht geschrieben wurde. Dies wird aber, wenn es dann Freitag ist, nicht erfüllt sein, denn die Arbeit wurde bereits am Dienstag geschrieben.

Damit sind alle daraus abgeleiteten Schlüsse der Schüler ( Gefangenen ;-) ungültig.

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Wo genau soll der Widerspruch liegen? Dabei, dass die Schüler alles ausgeschlossen haben und dennoch überrascht waren?

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Kommentar von ausdertonne
08.09.2016, 00:27

Die Ankündigung des Lehrers schließt das Schreiben einer Klassenarbeit logisch aus und ist trotzdem korrekt

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Kommentar von Semichroma
08.09.2016, 00:29

Der Lehrer schließt das Schreiben nicht aus, er kündigt es an.

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Das ist eigenltich nicht so schwer.

Die Schüler fangen mit Freitag an, was bereits ein Fehler ist.

Annahme 1:

Wenn bis Freitag keine Arbeit gechrieben ist.

Diese Annahme ist in 4 von 5 Fällen nicht zutreffend.

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Das sind bittere Zirkelschlüsse. Wenn gemeint ist, dass die Schüler vor einer Stunde nicht mit Sicherheit sagen können, ob sie in dieser eine Arbeit schreiben, dann lässt sich das Argument auf den Freitag anwenden, aber nicht auf die anderen Tage, da zu jedem Zeitpunkt vor der vorletzten Stunde mehr als eine Möglichkeit gegeben ist.

Es genügt doch der pure Menschenverstand um zu erkennen, dass unzusammenhängende Behauptungen aufgestellt wurden.

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Kommentar von ausdertonne
08.09.2016, 00:46

Wenn die Arbeit am Mittwoch nicht geschrieben wurde kommt nur noch Donnerstag oder Freitag in Frage. Den Freitag kann man ausschließen. Daher wären die Schüler auch am Donnerstag nicht überrascht. So fällt auch Donnerstag weg. Und so weiter. Steht doch alles im Text.

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Daher fällt Freitag als Möglichkeit aus.

Wieso? der Freitag wäre ja dann für die Arbeit fälig! Ab da ist das Ausschlußverfahren falsch!

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Kommentar von ausdertonne
08.09.2016, 00:42

Die Schüler wären am Freitag nicht überrascht

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