Wo finde ich Beweise für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung?

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2 Antworten

"Angenommen, es gibt natürliche Zahlen mit jeweils mehreren unterschiedlichen Zerlegungen, dann auch wieder eine kleinste, genannt n. Dies kann keine Primzahl sein und zwei Zerlegungen von n können keinen gemeinsamen Primfaktor p enthalten, da dann auch n / p zwei verschiedene Zerlegungen hätte und kleiner als n wäre, im Widerspruch zur Annahme, dass n minimal ist. Es gilt also etwa n = p \\\\cdot a= q \\\\cdot b, wobei p und q Primzahlen sind und es gilt p \\\\neq q, a\\\\neq b. Das abschließende Argument ist das Lemma von Euklid: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so auch einen der Faktoren. Da n durch p teilbar ist, muss einer der Faktoren der anderen Zerlegung durch p teilbar sein und das ist b, denn q ist prim. Also taucht ein beliebiger Primfaktor stets in beiden Zerlegungen auf und damit sind sie identisch."

http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung#BeweisderEindeutigkeit

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Z. B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung#BeweisderEindeutigkeit. Dabei benutzt man etwa die Eigenschaft von Primzahlen, dass aus

p teilt a * b

folgt

p teilt a oder p teilt b.

Für die Mathematiker ist das ein Spezialfall einer allgemeineren Aussage: Z ist Ring und zwar Hauptidealring, alle Hauptideale sind faktoriell, in faktoriellen Ringen existiert eine eindeutige Zerlegung.

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