Wir erkennt man einen Vorzeichenwechsel bei Polstellen?

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1 Antwort

A. Bei 0,5 ist keine Definitionsmenge, sondern eine Definitionslücke.

B. Die Zählerfunktion 1•x² + 1,5x = x(x +1,5) ist (wegen 1 > 0) eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen -1,5 und 0, in einer Umgebung von 0,5 > 0 also positiv.

Die Nennerfunktion 2x -1 ist (wegen 2 > 0) eine steigende Gerade und wechselt bei iherer 0,5 das Vorzeichen von - nach +

Also hat g(x) bei x = 0,5 eine Pol mit Vorzeichenwechsel (und ist links der Polstelle negativ, denn + / - = - , und rechts davon positiv, denn + / + = +).

C. Was eine Grenzwertbetrachtung anderes bringen soll, ist mir nicht klar. Insbesonders ist die Regeln von de l'Hospital nicht anwendbar, denn dafür müssten für einen gegebenes x Zähler und Nenner eine Nullstelle haben.

D. Die Funktion hat eine schräge Asymptote für x → ± ∞. Das lässt sich mit Polynomdivision und Grenzwertbetrachtung herausbekommen.

Etwas allgemeiner:

Grundsätzlich kannst du immer überlegen, welches Vorzeichen die Zähler- und welches die Nennerfunktion in eine geeigneten Umgebung der Nullstelle der Nennerfunktion links und rechts von dieser annimmt. Für die meisten praktische Fälle gibt es einfache Regeln:

E. Wenn von Zähler- und Nennerfunktion an einer Polstelle genau eine das Vorzeichen wechselt (praktisch gesehen meist die Nennerfunktion), dann auch die gebrochen rationale Funktion. Standard-Beispiel: y = 1 / x.

F. Wenn weder die Zähler- noch die Nennerfunktion an einer Polstelle das Vorzeichen wechselt, dann die gebrochen rationale Funktion auch nicht. Standard-Beispiel: y = 1 / x².

G. Wenn sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion an einer Stelle x0 das Vorzeichen wechseln und beide dort differenzierbar (und also auch stetig) sind, dann haben beide dort eine Nullstelle, die mit de l'Hospital untersucht werden kann:

für lim f(x) = lim g(x) = 0 für x → x0 ist

lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x) für x → x0,

das Verfahren kann bei Bedarf (und mehrfacher Differenzierbarkeit) wiederholt werden. (Praktisch gesehen handelt es sich oft um eine hebbare Definitionslücke.)

H. Für den Fall, dass sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion an einer Stelle x0 das Vorzeichen wechseln, aber mindestens eine dort unstetig oder nicht differenzierbar ist, bleibt nur die oben genannte allgemeine Überlegung.

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