Winkelsätze in Dreiecksfigur

...komplette Frage anzeigen Skizze - (Mathematik, Geometrie, winkelsätze)

3 Antworten

Vielen Dank für die Antwort, aber das Problem wurde leider noch nicht gelöst, da in unserem Mathebuch die Kongruenzsätze erst im Anschluss folgen. Auch, dass die Winkel abbildungsstabil sind bezüglich der Spiegelsymmetrie ist nicht bekannt. Wie soll ich also eben dieses nur mit Hilfe der og Winkelsätze beweisen? Thaleskreis ist bekannt, jedoch komme ich auch damit nicht auf den Winkel Beta.

Ich setze voraus, dass F einen Höhenfußpunkt in Δ ABG ist; das ist zwar nicht eingezeichnet, aber anders wird nicht klar, wie die Lage der Gerade (GF) überhaupt definiert sein soll; insbesondere ergibt sie sich nicht aus eingezeichneten Ortslinien.

Mir scheint nicht übertrieben, darauf hinzuweisen, dass die Dreiecke GAF und AHF nach sws kongruent sind, denn GF und FH sind Radien des angedeuteten Kreises um F.

Dann brauche ich mich nicht sehr zu verbiegen um festzustellen, dass β und sein Spiegelbild β' (Scheitel in G) gleich sind, also per Kongruenzüberlegung (wenn die Beweiskraft der "nackten" Symmetrie nicht ausreicht, was dein Anliegen zu sein scheint). Wenn mit Thaleskreis argumentiert werden kann, sollte mit Kongruenzsätzen so doch wohl auch argumentiert werden können (jedenfalls erinnere ich mich an eine entsprechende Reihenfolge der Inhalte in meiner Schulzeit; ich bin kein gelernter Lehrer).

Der Rest mit Thaleskreis und Winkelsumme im Dreieck.

  1. Δ CBG ist gleichschenklig, daraus folgt Winkel CGB = Alpha

  2. Aus Innenwinkelsumme Δ CBG = 180° folgt Winkel GCB = 180° - 2x Alpha, mit Nebenwinkeln in C folgt Winkel ACG = 2Alpha

  3. In G ergänzen sich die Winkel AGF, FGC und CGB zu 90° (nach Thalessatz). Aus Innenwinkelsumme Δ FGC = 180° und Winkel ACG = 2Alpha (aus 2.) folgt Winkel FGC = 90° - 2Alpha. Mit Winkel CGB = Alpha (aus 1.) folgt Winkel AGF = Alpha

  4. Δ AGH ist nach Konstruktion gleichschenklig, damit folgt Beta = Winkel AGF = Alpha

Ich nehme an, wenn "gleichschenklige Dreiecke" bekannt sind, wissen die Schülerinnen auch, dass in gleichschenkligen Dreiecken die Basiswinkel gleich sind.

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