Wieviele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, 8 verschiedene Münzen in 5er Gruppen zu sortieren?

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3 Antworten

Der Binomialkoeffizient könnte dir hierbei helfen.

Die Definition entspricht glaube ich genau dem, was du haben willst:

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

Der Binomialkoeffizient von k Teilen aus Menge n ist:

n!/(k! * (n - k)!)

Bei dir ist das 8!/(5! * 3!)

Der Binomialkoeffizient von 5 Objekten aus 8 ist 56, es gibt also 56 Möglichkeiten, 5 Münzen aus einer Sammlung von 8 herauszunehmen (wenn man die Reihenfolge der Münze ignoriert natürlich, dafür gibt es noch andere Formeln, das wolltest du ja laut deinem zweiten Absatz nicht).

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Kommentar von nj2011
31.08.2013, 17:21

Erst dachte ich, dass das die Lösung sein könnte. Aber das Problem hierbei ist, dass ich ja "kein Zurücklegen" habe. Allerdings können ruhig mehrfach die gleichen Münzen in der Kombination vorkommen, also mehrfach 5 Cent beispielsweise.

Allerdings will ich lediglich vermeiden, dass die gleiche Kombination aus Münzen vorkommt, egal, an welcher Stelle die Münzen stehen.

Und da komme ich, alleine wenn ich es aufschreibe, schon auf mehr Kombinationsmöglichkeiten.

Hmmm....

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Mit einem Baumdiagramm das geht in dem du jetzt zum beispiel am anfang eine 1,2,3 hinschreibst dann geht von der 1 zwei striche weg und zwar 2,3 und immer so weiter und wenn du es dann nichtmehr weiter machen kannst zählst du die ganzen letzten ergebnisse ich hoffe ich konnte dir helfen

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Kommentar von nj2011
31.08.2013, 17:02

Aber bei diesem Baumdiagramm kann es mir doch genauso passieren, dass ich doppelte Möglichkeiten dabei habe.

Schließlich haben alle 5 Münzen die Möglichkeit, die Ausprägung 1ct bis 2 Euro zu haben.

Gibt es einen Rechenweg?

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Ja, es gibt dazu eine Formel. Du hast folgende Variablen

k Länge der Kombination, also 5

N Anzahl der Möglichkeiten, also 8

Die Formel ist

N + k - 1 über k , hier also

13 über 5, wobei das "über" den Binominalkoeffizienten meint.

Das bekommt man heraus, wenn man sich das als folgendes Fächermodell vorstellt: Du hast 8 Fächer (für jede Münzart eines) und 5 Bälle. Nun verteilst du deine 5 Bälle irgendwie auf die 8 Fächer. So eine Verteilung entspricht dann einer Kombination, wie du sie suchst.

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Kommentar von nj2011
31.08.2013, 17:32

Danke erstmal!

Berücksichtig diese Formel auch, dass ich keine doppelten Möglichkeiten haben möchte?

(Sprich: Wenn ich bereits 1 1 1 2 1 hatte, dass die Möglichkeit 1 2 1 1 1 oder 1 1 2 1 1, welche faktisch identisch sind, außen vor bleiben?)

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Kommentar von FataMorgana2010
31.08.2013, 17:35

Wenn also im ersten Fach (1ct) 3 landen, im zweiten (2ct) 2 und alle anderen leer bleiben, dann entspricht das einer Kombination aus 3 1ct Münzen und 2 2ct Münzen.

Anders ausgedrückt: du suchst eigentlich 8 Zahlen a1... a8, bei denen gilt

a1+....+a8 = 5. Dich interessiert ja nicht, in welcher Reihenfolge die Münzen ausgewählt werden, sondern die Anzahl, die du am Ende von jeder Münze hast.

Jetzt zu der Frage, wie man zu der Formel kommt. Ich stelle mir jetzt vor, ich hätte 8 leere Fächer - je zwei Fächer werden durch einen Strich getrennt:

||||||||

In diese Fächer lege ich jetzt 5 Bälle:

BBBBB|||||||| wäre die Situation, dass ich ins erste Fach alle fünf lege (deine Kombination 1)

||||BB||||BBB wäre die Situation, dass ins 5. Fach (20 ct) 2 und ins 8. Fach (2 Euro) 3 kommen.

Jede Anordnung von 8 Strichen und 5 B's entspricht also einer Kombination. Ich habe insgesamt 13 Plätze, auf die ich entweder einen Strich oder ein B packen kann. Anders gesagt: ich muss 5 Plätze für ein B auswählen. Und das sind eben 5 aus 13. Oder 13 über 5.

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Kommentar von psychironiker
31.08.2013, 19:15

Ich lese gerade sehr interessiert die Antwort... nur ist für

k = 5, N = 8

(N + k -1 über k ) = ( 12 über 5 ) .

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