Wieviel Lösungen kann lineares Gleichungssystem haben?

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9 Antworten

(1) Erst einmal ist wohl begriffliche Klarheit erforderlich, was unter "einer Lösung" zu verstehen sein soll. Eine mathematisch klare Sprechweise wäre wohl, dass es kein, genau ein oder unendlich viele Lösungstupel gibt (und sonst keine weitere Möglichkeit).

Nur weiß ich nicht, ob das gruttli die Sprecheweise "eine Lösung" ohne Erläuerung so klar ist. Wenn sie/er denkt, dass es "eine, zwei oder unendlich" viele Lösungen geben könnte, denkt sie/er wohl eher an die Anzahl möglicher einzelner Werte für die verschiedenen Variablen. Daher meine Sprechweise "n Lösungen, und zwar für jede Variable genau eine" ; das meint "ein Tupel", ohne diesen Begriff zu verwenden.

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Kommentar von sprengel
02.05.2013, 10:17

In der Mathematik kann nicht jeder neue Begriffe einführen, insbesondere nicht dann, wenn die vorhandenen völlig ausreichen!

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alles, was du aufgeführt hast, ist möglich, aber auch keine oder drei oder vier usw.

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Einige Antwortende beschränken sich auf die gleiche Anzahl an Variablen und an Gleichungen. Die beiden können allerdings unterschiedlich lang sein.

Nehmen wir an, das Gleichungssystem (kurz GLS) habe m Gleichungen und n Variablen. Die Anzahl der Lösungen lässt sich sicher herausfinden, wenn man das GLS in eine Treppenstufenform überführt. Dann lässt sich nämlich direkt erkennen, ob es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt.

Sei k die unterste Gleichung in der Treppenstufenform Ax=b, die mindestens ein nicht verschwindendes Element (dh ungleich 0) hat. Es ergeben sich folgende Fälle für diese Zeile:

  1. Alle Koeffizienten in A (in dieser Zeile) seien gleich 0 aber das Koeffizient in b sei ungleich 0. Dann existiert keine Lösung.

  2. Es gibt mindestens zwei nicht verschwindende Elemente in A (in dieser Zeile). Dann ergeben sich unendlich viele Lösungen.

  3. Dieser Fall ist etwas komplizierter als die ersten zwei. Es gebe genau ein nicht verschwindendes Element in A (in dieser Zeile). Daraus ergeben sich zwei Fälle: genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Antwort hängt von der Struktur der "Treppenform" ab. Wenn die Treppe gleichmäßig verläuft, dann hat das GLS eine eindeutige Lösung. In anderen Fällen muss man aufpassen, ob da nicht in irgend einer Zeile mindestens zwei neue nicht verschwindende Variablen stehen. In diesem Fall würden unendlich viele Lösungen existieren.

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Du brauchst bei n Unbekannten auch n Gleichungen! Dann ist das System lösbar, zumindest, wenn die Gleichungen linear unabhängig voneinander sind. Hat man zu wenig Gleichungen, so bleiben Abhängigkeiten übrig. Bei zu vielen Gleichungen ist das System überbestimmt. Hier kann es zu Widersprüchen kommen...

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Kommentar von gruttli
01.05.2013, 21:57

mensch, ich wünschte ich könnte mathe!!

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Wenn es um eine System mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht:

Keine,

genau zwei ( = für jede Variable genau ein Wert, die können aber auch gleich sein) oder

unendlich viele.


Wenn es um eine System mit n Gleichungen und n Variablen geht (n beliebig):

Keine,

genau n ( = für jede Variable genau ein Wert, die können aber auch paarweise gleich sein) oder

unendlich viele

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Kommentar von appletman
01.05.2013, 22:04

Hallo, könntest du nicht mal bitte erläutern, wann es keine Lösungen bzw. unendlich viele Lösungen gibt? Das hat man nicht allzu oft in der Praxis...

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Kommentar von ArchEnema
01.05.2013, 22:09

genau zwei ( = für jede Variable genau ein Wert, die können aber auch gleich sein)

Äh... das ist aber eine Lösung. Da die Variablen "zueinander passen" müssen kann man ja wohl schlecht jede als eigene Lösung vermarkten... ;-)

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Kommentar von sprengel
02.05.2013, 09:29

Um kein falsches Vokabular zu verbreiten, solltest Du deine Antwort korrigieren: Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist stets ein n-Tupel, also für n=2 ein Wertepaar und es gibt immer nur die Fälle kein, genau ein oder unendlich viele Wertepaare.

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Je nachdem. Es gibt welche ohne Lösungen, eine mit unendlich vielen und und und

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Keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen...

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kommt auf das gleichungssystem an

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