Wieso muss ich bei folgender kombinatorik aufgabe die reihenfolge beachten?

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5 Antworten

Dass hier eine Reihenfolge nötig sein sollte, erschließt sich mir auch nicht. In der Aufgabenstellung tritt nirgendwo eine Ordinalzahl (der/die/das soundsovielte) auf, und ob zwei Personen miteinander verheiratet sind, hängt nicht davon ab, in welcher Reihenfolge sie gewählt werden.

Unter "zufälliger Auswahl" ist vermutlich Gleichverteilung zu verstehen. Das wird m. E. viel zu oft stillschweigend vorausgesetzt, obwohl es eine beliebte Falle der Stochastik ist, Gleichverteilung anzunehmen, auch wenn es keinen Sinn ergibt. Auch werden vermutlich nicht gezielt 2 Männer und 2 Frauen ausgewählt (was der Zufälligkeit in keiner Weise Abbruch tut, nur der Gleichverteilung über alle Personen).

Wir gehen mal ohne Beschränkung der Allgemeinheit von der klassischen Ehe Mann + Frau aus. (Sonst können wir jedem Paar zufällig eine grüne und eine orange Kugel geben.) Dann haben wir

insgesamt 5 Männer und 5 Frauen

in der Auswahl folgende Möglichkeiten der Geschlechterverteilung:

4 Männer, 0 Frauen
3 Männer, 1 Frau
2 Männer, 2 Frauen
1 Mann   , 3 Frauen
0 Männer, 4 Frauen

Die Wahrscheinlichkeiten für jede dieser Möglichkeit müssen wir ausrechnen. (Hypergeometrische Verteilung)

Für jede dieser Auswahlklassen müssen wir nun ausrechnen, wie wahrscheinlich kein Ehepaar bzw. mindestens ein Ehepaar dabei ist.

Bei 4:0 sind die Wahrscheinlichkeiten sowieso 1 bzw. 0.

Bei 3:1 haben wir für die eine Frau (5 über 3) Möglichkeiten, dass die Männer ausgewählt sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste der Männer ihr Ehemann ist, ist 1/5, für den 2. (4/5) * (1/4), also wieder 1/5, usw.

Bei 2:2 haben wir für die erste Frau wieder den obigen Fall, und für die 2. müssen wir unterscheiden, ob der Mann der 1. Frau dabei ist oder nicht.

Usw.

Oder wir können ab 2:2 die Symmetrie ausnutzen.

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Hallo,

wir hatten solche Aufgaben in der Schule noch nicht (bin jetzt 83), aber ich denke, man kann sie wie folgt lösen, wobei ich die jeweilige zufällige Auswahl einer Person als Ziehung bezeichne:

1. Ziehung: Eine Person (A) wird ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1 (100%). Es bleiben 9 Personen übrig.
2. Ziehung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die jetzt ausgewählte Person der Ehepartner von A ist, ist 1/9. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist 8/9. 8 Personen bleiben übrig.
3.Ziehung: Die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt die ausgewählte Person der Ehepartner von A ist, ist (8/9)*(1/8) = 1/9. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies nicht zutrifft, ist (8/9)*(7/8) = 7/9. 7 Personen bleiben übrig.
4. Ziehung: Die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt die ausgewählte Person der Ehepartner von A ist, ist (7/9)*(1/7) = 1/9.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Ehepartner zur zuerst ausgewählten Person A ausgewählt wird, setzt sich zusammen aus der Wahrscheinlichkeit der 2., 3. und 4. Ziehung, nämlich 1/9 + 1/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3 = 0,333 = 33,3%.

Die Wahrscheinlickeit, dass kein Ehepaar ausgewählt wird, wie oben gefragt, ist 1 - 1/3 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.

Ich muss vorsichtshalber hinzufügen: Meiner Meinung nach.

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Kommentar von HEWKLDOe
18.06.2017, 21:37

Ich habe vergessen, dass ja auch zwei Ehepaare ausgewählt werden könnten. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist (10/10)*(1/9)*(8/8)*(1/7) = 1/63 = 0,01587 = 1,59%. Um diese Wahrscheinlichkeit verringert sich die Gesamtwahrscheinlickeit für kein Ehepaar unter den 4 ausgewählten Personen auf 66,67% - 1,59% = 65,08%.

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gib mal das Ergebnis für diese Aufgabe.

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Kommentar von darkmr
18.06.2017, 19:25

10*9*8*7=5040

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4 ausgäwhlte normal-männer sind sicher nicht mit einander verheiratet

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