Wieso löst sich bei einer Funktion in Polardarstellung das e^-2Pi*i einfach auf?

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2 Antworten

Weil Sinus, Cosinus und damit nach der Eulerschen Formel

(1) e^{iα} = exp(iα) = cos(α) + i·sin(α)

auch exp(iα) 2π-periodisch sind. Das weiß man, d.h. wenn der TR etwas anderes ausspuckt, rechnet er mit einer ungenauen Näherung von 2π oder auch –2π und eben nicht mit 2π bzw. –2π selbst.

Dank (1) kann man sogar von negativen Zahlen einen Logarithmus ziehen, was freilich mit Vorsicht zu genießen ist, weil es wegen der Periodizität unendlich viele Lösungen gibt. Sein sog. Hauptwert ist für ein positives x

(2) ln(–x) = ln(x) + iπ.

Je größer übrigens α, desto größer dürfte beim TR der Rundungsfehler werden.

Wegen der Identität e^(i x) = cos(x) + i sin(x)

In deinem Fall:

e^(-2*pi*i) = cos(-2*pi) + i sin(-2*pi) = 1 + 0 * i = 1

Glasgesicht 07.11.2015, 13:00

Wenn ich cos (-2*pi) in den taschenrechner eingebe kommt da aber 0.9... raus und nicht 1.

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Physikus137 07.11.2015, 13:43
@Glasgesicht

Das ist die Krux mit den Taschenrechnern, die verstehen nichts von Mathematik, sondern müssen sich Näherungsverfahren bedienen...

0,99999... (periodisch) = 1. Auch eine Identität, die Taschenrechner nicht kennen.

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Glasgesicht 07.11.2015, 14:35
@Physikus137

Ok, danke. Noch eine Frage: kann ich dann quasi alle vielfache von 2 PI auch einfach auflösen?

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Glasgesicht 07.11.2015, 16:01
@Physikus137

Wenn ich jetzt wiederrum cos (-4*pi) eingebe kommt aber 0,97 raus... bei (-6*pi), 9.4.... etc. Irgendwann weicht dass aber doch sehr von den cos= 1 ab?

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Glasgesicht 07.11.2015, 16:08
@Glasgesicht

Ich glaube ich hab es mir beantwortet: Wenn ich eine Funktion e^50*Pi*i hab...kann ich die doch quasi so auflösen dass (e^2Pi*i)^25 rauskommen würde. Dann ist e immer 1 und 1 hoch einer beliebigen Zahl ist ja immer 1.

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Physikus137 07.11.2015, 18:14
@Glasgesicht

Entweder du hast keinen besonders guten Taschenrechner, oder du gibst für Pi 3,14 ein anstatt die vom Taschenrechner dargebotene Konstante?!

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Glasgesicht 12.11.2015, 15:31
@Physikus137

Ich nutz schon die Konstante. Mein Taschenrechner ist von Casio? Der ist eigentlich schon recht gut.

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Physikus137 12.11.2015, 20:53
@Glasgesicht

Du weist ja, dass man den Winkel in Grad oder in Rad angeben kann. Im ersten Fall entspricht ein rechter Winkel 90°, im zweiten π/2. Dem Taschenrechner mußt du sagen, wie du deine Winkel angeben willst. In der Anzeige steht meist ein kleines "D" oder "deg" für Winkelangaben in Grad (von engl. degree) oder "R" bzw. "rad". Mit einer Taste oder Tastenkombination kannst du zwischen beiden (und evtl. noch einer dritten) Möglichkeiten Winkel anzugeben wechseln. Wenn diese Einstellung nicht mit deiner Winkelangaben übereinstimmt kommen dabei falsche Werte heraus, so wie bei dir geschehen. 

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