Wieso kann man bei der Volumenberechnung eines Torus mit den Funktionen f(x) und g(x) den Ansatz x^2 + y^2=r^2 wählen?

Volumen eines Torus - (Schule, Körper, Mathe)

3 Antworten

Hallo,

wenn Du nur das Ergebnis brauchst, kannst Du es Dir auch einfacher machen. Zerschneide den Torus an einer Stelle und forme ihn zu einer Röhre um.

Deren Volumen berechnet sich aus Querschnittsfläche mal Länge.

Die Querschnittsfläche ist Pi*r², hier also gleich Pi, weil r=r²=1

Die Länge entspricht dem Umfang eines Kreises mit dem Radius 7, also 
14*Pi.

So kommst Du auf das Volumen von 14*Pi².

Genau dasselbe Ergebnis liefert Dir auch die Volumenberechnung des Rotationskörpers über das Integral.

Herzliche Grüße,

Willy

Ich muss das über die Integralrechnung lösen. Deine Antwort erklärt aber nicht meine grundlegende Frage, warum man sagen kann: x^2 + y^2 = r^2...

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@carbonpilot01

Das ist die Formel für die Kreisgleichung.

In Deinem Fall bei Kreismittelpunkt (0|7) und r=1:

x²+(y-7)²=1

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Der Querschnitt eines Torus ergibt in der Ebene zwei Kreise. Man betrachtet den oberen Halbkreis des oberen Kreises f(x), der um 7 aus dem Koordinateursprung nach oben verschoben ist.

Der Rotationskörper zu diesem f enthält jetzt noch den Mittelteil. Die "Füllung" berechnet man, indem man den unteren Teil des Halbkreises g(x) rotieren lässt und die beiden Volumina voneinander subtrahiert

x² + y² = r²
Das ist die Kreisgleichung.
Diese Gleichung beschreibt alle Punkte auf der Kreislinie eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt im Ursprung (0,0)
r ist die Entfernung vom Ursprung (Mittelpunkt des Kreises) zu jedem Punkt (x,y) auf der Kreislinie.
http://www.mathepedia.de/Kreis.aspx


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