Wieso ist minus mal minus plus?

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11 Antworten

Sowohl als auch:

Physiker beschreiben das Universum mit physikalischen Gesetzen und "borgen" sich dazu bei den Mathematikern die reellen Zahlen.

Die reellen Zahlen sind eine algebraische Struktur namens Körper. Darin sind definiert zwei innere zweistellige Operatoren namens Addition und Multiplikation. Für diese wiederum gelten bestimmte mathematische Axiome. Kombiniert man diese Axiome miteinander, folgt daraus zwangsläufig deine Frage.

Nimm's hin, wie's ist oder lies nach bei: https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper\_(Algebra)

Falls du Verständnisproblem damit hast, dann sieh's locker und warte, bis es in Mathe dran ist. (Üblicherweise erst beim Abitur/Studium).

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"Minus mal Minus gleich Plus" ist auch ein Stück Natur. Und in der Technik gibt es bestimmt eine Menge Beispiele, die das veranschaulichen.

Wenn Du einen Propeller in Gegenrichtung betreibst und gleichzeitig den pitch, also die Neigung der Rotorblätter negativ einstellst, dann gibt es wieder einen Vortrieb.


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Nein, nein und nein.

Es ist natürlich eine Sache der Definition und der Analogie zu anderen Bereichen und Definitionen der Mathematik, aber nicht nur.

Ich kann es Dir an einem einfachen Beispiel zeigen:

Wir betrachten als gegeben: 

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • "plus mal minus ergibt minus"

Damit können wir folgenden Ausdruck umformen:

(5 + (-2))² = 5² + 2⋅5⋅(-2) + (-2)²
                = 25 - 20 + (-2)⋅(-2)
                = 5 + (-2)(-2)

Am hinteren Ende haben wir das Produkt (-2) ⋅ (-2), dessen Ergebnis wir aber noch nicht bestimmen können, da wir ja nicht wissen, was "minus mal minus" ergibt. Also lassen wir es erstmal so stehen.

Das Binom können wir aber natürlich auch ohne binomischen Formel ausrechnen, indem wir einfach zusammenfassen:

(5 + (-2))² = (5 - 2)²
                = 3²
                = 9

Da wir das Binom einfach nur auf zwei verschiedene Arten aufgelöst haben, muss natürlich in beiden Fällen dasselbe Ergebnis rauskommen.

Also folgt:

(5 + (-2))² = (5 + (-2))²
5 + (-2)(-2) = 9

Jetzt noch kurz ausgelöst, ergibt sich:

(-2)⋅(-2) = 4

Das Ergebnis ist positiv - daran sieht man ganz eindeutig, dass das Produkt zweier negativer Faktoren positiv ist.

Du kannst Dir also einfach merken:

Wenn die zwei Vorzeichen gleich sind, ist das Produkt positiv, wenn sie verschieden sind, negativ.

  • + mal + ergibt +
    - mal - ergibt +
  • + mal - ergibt -
    - mal + ergibt -

Selbiges kann man sich aber auch in den "normalen" Sprachen wie Französisch fragen. Warum verschmilzt de und le zu du? Warum wird aus à und les ein aux? Das ist mehr Definitionssache als dieses Beispiel in der Mathematik.

LG Willibergi

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Wenn man z.B. -5 x -5 rechnet, ist es dassselbe wie wenn man (-1) x 5 x -5 rechnet. ( -1 wird dabei aus dem ersten Faktor ausgeklammert).

5 x -5 ist -25. Das ist anschaulich verständlich. Durch Hinzufügen des ausgeklammerten -1 ergibt sich: (-1) x -25

Durch das Rückführen des -1 in die -25 ergibt sich 25. Das ist der umgekehrte Prozeß des Ausklammerns (beim Ausklammern einer negativen Zahl ändert sich das Vorzeichen).

Also ist -5 x -5 = +25.

Man kann jede negative Zahl X als -1 mal X schreiben durch Ausklammern von -1. Somit ergeben sich im Grunde nur Multiplikationen von zwei postiven oder einer positiven und einer negativen Zahl. Bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen klammert man zuerst -1 aus und rechnet wie bei der Multiplikation einer positiven und einer negativen Zahl. Durch die Rückführung der -1 am Ende ergibt sich eine positive Zahl als Ergebnis. Das Ausklammern von -1 wird jedoch in der Praxis einfach weggelassen. Man wendet die Regel direkt an.

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Volens 11.07.2017, 10:49

Gut erklärt.
Du solltest dann aber auch nicht gegen mathematische Schreibweisen verstoßen, deren Befolgung Missverständnisse vermeidet. Es dürfen keine zwei Zeichen ohne Beklammerung zusammenstoßen. Daher schreibt man:

-5 * (-5) = +25            Das x als Malzeichen solltest du ohnhin nicht verwenden.

Manche schreiben sogar aus Deutlichkeitsgründen: (-5) * (-5)
Das ist allerdings nicht zwangsläufug erforderlich.
Das Malzeichen kann jedoch nach allgemeiner Vereinbarung weggelassen werden, wenn man klammert (sonst nicht!):  (-5) (-5)

Der Unterschied zwischen 55 und 5 * 5 muss gewährleistet sein.

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Louisok 11.07.2017, 12:55

Ich hab keine Probleme mit der Anwendung. Ich wollte nur wissen, ob das irgendwie in den Naturgesetzen schon enthalten ist. Dass 2+2 4 ergibt, gibt das Universum ja her, wenn du zu zwei Partikeln zwei hinzufügst hast du vier. Daher hab ich mich gefragt ob es für die Regel in meiner Frage irgeneine Entsprechung im Universum bzw. in den Naturgesetze ist gibt.

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Zwieferl 11.07.2017, 13:56
@Louisok

So gesehen: Ja!

Mathematik ist ja nur die formale Beschreibung der Natur, aber die Regeln dafür sind die Naturgesetze.

Das "-" als Vorzeichen haben die Inder "entdeckt", nachdem sie Zeichen für "Nichts", nämlich die "0" eingeführt hatten → das Minus hat sich dann fast von selbst ergeben, da die Handelsleute auf diese Weise Guthaben und Schulden darstellen konnten (war tatsächlich die erste Anwendung!).

Kurz: wir haben es uns "ausgedacht", aber es war implizit schon da.

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Louisok 11.07.2017, 17:41
@Zwieferl

Also Harald Lesch (vielleicht kennst du ihn) hat gesagt, Mathematik ist keine Naturwissenschaft sondern eine Strukturwissenschaft. Nicht alles was mathematisch möglich ist, ist auch in der Natur realisierbar.

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Ein anschauliches Beispiel oder eine Entsprechung in der Physik wäre:

jede hemmende Größe, die reduziert wird, ergibt im Ergebnis eine Steigerung.

Als Beispiel: die Beschleunigung eines Autos a ist umgekehrt proportional zu seinem Gewicht m. "Umgekehrt" proportional" bedeutet, daß in der Formel ein Minuszeichen vor diesem Faktor steht. Also vereinfacht: a = -m.

reduziert man das Gewicht um 10% ergibt sich: a = - (m - 0,1m). Löst man die Klammer auf, entspricht das der Anwendung der Regel "minus mal minus gibt plus". a erhöht sich proportional zu 0,1m.

Das gilt für jede Größe, die eine andere Größe hemmend beeinflußt. Z.B. auch den cw-Wert des Autos. Bei Reduzierung erhält man eine Erhöhung.

Die Reduzierung einer fördernden Größe (z.B. Motorleistung) würde hingegen eine Reduzierung bewirken (minus mal plus gibt minus).

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Wenn du die Regeln für Minus mal Plus und Plus mal Plus nicht infrage stellst, folgt die Regel für Minus mal Minus wie in diesem Beispiel:

2-(-3) = ? | +(-3)

2 = ? +(-3)

2 = ? -3 | +3

5 = ?

Also ist 2-(-3) = 5 = 2+3, sonst wäre die Mathematik inkonsistent.

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Minus mal minus ist plus, weil
Wenn du -3 • 3 dann ist es klar, dass dann -9 rauskommt, weil wenn man die -3 + (-3) + (-3) dann löst man auf -3 -3 -3 dann kommt -9 raus

Wenn du aber jetzt -3 • -3 rechnest, dann rechnest du ja minus mal die minus und das heißt es kommt + 9 raus, weil -(-3) -(-3) -(-3) ist aufgelöst +3 +3 +3 und das ist +9

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In unteren Klassen macht man sich das am besten mit der Plausibilität klar:

(-1) * 5    =  -5          das ist klar
(-1) * 4    =  -4
(-1) * 3    =  -3
(-1) * 2    =  -2
(-1) * 1    =  -1
(-1) * 0    =    0         Um diese Entwicklung fortzuführen, muss man zu +1 gehen
(-1) * (-1) = +1
(-1) * (-2) = +2
(-1) * (-3) =   3           weil man ein + vor der Zahl auch weglassen kann 


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Das ist einfach eine Konsequenz der Axiome auf einem Körper K(+, *)

Dort gilt unter Anderem:

1) Es gibt ein Nullelement 0 der Addition:
a + 0 = a (für jedes a ∈ K )

2) Es gibt ein Einselement 1 der Multiplikation:
a*1 = a (für jedes a ∈ K )

3) Distributivgesetz
für a, b,c ∈ K: a * (b+c) = a*b + a*c

4) für jedes a ∈ K gibt es ein a' (das zu a negative Element), sodaß a+a' = 0

Nun kann man schreiben

1' + 1 = 0 | * 1'

1' * (1' + 1) = 0

Anwenden von 3:

1' * 1' + 1'*1 = 0

1' * 1' + 1' = 0 | + 1

1' * 1' = 1

da man für 1' "-1" schreibt, ist

(-1) * (-1) = 1


Daraus folgt auch, dass

(-a) * (-a) = a

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Roderic 11.07.2017, 13:59

Ersetz die letzte Zeile durch:

(-a) * (-a) = a * a

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Wurde in der Mathematik irgendwann mal so definiert, da man damit die meisten Fälle am besten beschreiben kann! :)

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