Wieso ist der Grenzwert in genannter Aufgabe e^4 (eulersche zahl)

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Hallo,

zunächst einmal muß die Formel, für die der Limes berechnet wird, so lauten: 

(1+4/n)^n, genau dann wird der lim gegen unendlich e^4.

Dies zu berechnen, ist allerdings nicht so einfach und erfordert ein paar Rechentricks. Zunächst einmal mußt Du den natürlichen Logarithmus ins Spiel bringen, dessen Basis e, die Eulersche Zahl ist. Du kannst einen Term oder eine Zahl auch so ausdrücken, daß Du ihren Logarithmus als Potenz zu dessen Basis schreibst. So ist z.B. 100 dasselbe wie 10^(lg100), weil lg100 =2 ist und 10^2=100.

Das funktioniert auch mit ln, dem natürlichen Logarithmus zur Basis e.

Du schreibst die Formel also um:

e^(ln((1+4/n)^n), was nach den Potenzgesetzen so umgeformt werden kann:

e^(n*ln(1+4/n), denn (a^n)^m ist dasselbe wie a^(n*m).

Da Du den Limes für n gegen unendlich bestimmen möchtest, kannst Du den mit in die Potenz ziehen:

e^(lim gegen unendlich von n*ln(1+4/n).

Nun behalten wir e im Hinterkopf, aber betrachten zunächst nur die Potenz:

Wir suchen den Grenzwert von n*ln(1+4/n). Das n, das als Faktor vor dem ln steht, bringen wir in die Klammer hinein, indem wir durch seinen Kehrwert dividieren. 3*4 ist dasselbe wie 3:1/4, so ist auch n*ln(1+4/n) dasselbe wie:

ln((1+4/n)/1/n). Nun haben wir einen Bruch, in dem Zähler und Nenner gegen Null gehen.In diesem Fall darf für die Grenzwertbestimmung die Regel nach l'Hospital angewendet werden, die uns erlaubt, zu Zähler und Nenner die Ableitung zu bilden und deren Grenzwert zu bestimmen.

Die Ableitung von ln(1+4/n) ist 1/(1+4/n)*(-4/n²) (Kettenregel und das Wissen darum, daß die Ableitung von ln(x) = 1/x

Die Ableitung von 1/n ist gleich (-1/n²).

Nun erhalten wir einen neuen Bruch für die Grenzwertbestimmung, der aus den Ableitungen von Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruches besteht:

Oben im Zähler haben wir 1/(1+4/n)*(-4/n²), im Nenner (-1/n²).

Wenn wir oben noch die 4 aus dem Term (-4/n²) ziehen, erhalten wir als Zähler:

4/(1+4/n)*(-1/n²), so daß wir kürzen können, denn sowohl im Zähler als auch im Nenner steht der Faktor (-1/n²).

Es bleibt also übrig: 4/(1+4/n), dessen Limes üfr n gegen unendlich, wie unschwer zu erkennen ist, gegen 4 geht.

Nun sollten wir uns wieder an e, die Eulersche Zahl erinnern. Wir hatten die ganze Zeit den Exponenten von e betrachtet, von dem wir nun wissen, daß sein Grenzwert 4 lautet, so lautet also der Grenzwert der ursprünglichen Funktion e^4 - genau das, was Du bereits im Internet gefunden hast, nur nicht so schön erklärt.

Herzliche Grüße,

Willy

Oder man macht es sich einfach und definiert lim n->inf (1 + x/n)^n := e^x, was sogar die internationale Standarddefinition ist....

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@Roach5

Es schadet aber nicht, auch mal selbst das Gehirn rattern zu lassen, anstatt sich nur mit dem zufrieden zu geben, was andere geschrieben haben. Was soll man denn daraus lernen, wenn man ungeprüft irgendwelche Formeln übernimmt? Willy

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so ist auch n*ln(1+4/n) dasselbe wie: ln((1+4/n)/1/n)

Da sind Dir die Klammern verrutscht. Du meinst: ln(1+4/n) / (1/n)

Der Rest passt aber wieder -- schöne Herleitung!

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@ralphdieter

Du hast recht, natürlich gehört 1/n nicht mit in die Klammer, sonst würde die Herleitung auch gar nicht funktionieren. Danke für den Hinweis. WIlly

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Vielen Dank für den Stern. Willy

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Hallo !

lim n gegen Unendlich angewendet auf (1 + 4 ^ n) ^ n = plus Unendlich

Also nichts mit Eulerscher Zahl !

http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%281+%2B+4+^+n%29+^+n+as+n-%3E+infinity

LG Spielkamerad

Nein, das ergebnis lautet e^4

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@DieChemikerin

Hi, wieso kommentierst du, wenn du es selber nicht kannst? :)

Das Ergebnis lautet e^4 und wurde hier auch schon nach e^4 berechnet :-)

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