Wieso ist a^-x = 1/a^x?

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6 Antworten

Das ist als Schreibweise einfach so definiert!

Negativer Exponent ist einfach eine andere Schreibweise für 1/...

Einfache Bsp: 
1/2 = 2^(-1)
1/x² = x^(-2)


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Kommentar von rumar
28.09.2016, 21:40

Naja, das ist ja eben nicht "einfach so definiert" , sondern es wird mit sehr guten Gründen so definiert !

Das Wesentliche ist dabei, dass mit dieser Definition die Potenzgesetze wie zum Beispiel

    a^m * a^n = a^(m+n)

    a^m : a^n = a^(m-n)

    (a^m)^n =  a^(m*n)

welche zuerst für positive Exponenten m und n  etabliert werden, nur mittels der Definition   

     a^(-n) :=  1 / (a^n)

auch auf Potenzen mit negativen (oder beliebigen ganzzahligen) Exponenten erweitert werden können.  Diese letztere Definition ist also gewissermaßen "zwangsläufig", wenn man nicht ein heilloses Chaos beim Rechnen mit Potenzen schaffen will !

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Hy,

schau dir mal das Bild an müsste dir helfen.

Du multiplizierst Zähler und Nenner also a^-x und 1 mit a^xund erhälst oben die multiplikation von zwei hochzahlen mit gleicher Basis. Dazu adierst du die beiden Hochzahlen -x+x=0 dann hast du a^0 ist 1 und so hast du oben die 1 und unten a^x

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Weil dann Rechenregeln wie a^n * a^m = a^(n+m) auch für negative Exponenten gelten.

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Es ist Definitionssache, dass ein Minuszeichen vor dem Exponention äquivalent zu "Eins geteilt durch Exponentialausdruck (ohne das Minus)" ist.

Diese "Regelung" gibt es, damit man so etwas kompakter und übersichtlicher schreiben und in der Exponentialnotation besser rechnen kann.

Ergänzung:

Bei x*10^1 wird das Komma hinter der Zahl x um eine Stelle nach rechts verschoben.

Bei x*10^-1 wird das Komma um eine Stelle nach links verschoben.

Ergibt sich also aus der Defintion der Exponentialschreibweise

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Weil 1/x=x^-1 definiert ist, bzw. so in der art.

lg

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3³ = 27

3² = 9

3^1 = 3

3^0 = 1

3^(-1) = 1/3

3^(-2) = 1/9

3^(-3) = 1/27

Du kommst jeweils einen Schritt weiter nach unten, indem du durch 3 teilst. Daher kommt die Potenz mit negativen Exponenten. Du kannst analog für die 3 auch a einsetzen.

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