Wieso impliziert ii) iii)?
Ich bin einfach zu dumm die Implikation zu verstehen.
Ich verstehe nicht so ganz wieso das trivial ist. Soweit ich verstanden habe, koennen wir nach ii) zu irgendeinem c in C eine Folge {w_n} c f(U\c) finden, s.d
w_n --> c fuer n --> unendlich. Wir koennen auch eine Umgebung V = B_{1/n}(a) um a waehlen, s.d w_n = f(u_n) fuer all n in N und |u_n-a| < 1/n.
Ich raff es aber einfach nicht, in der deutschen Version steht, das folge nach Definition.
2 Antworten
Ich liebe es, wenn Autoren schreiben, das sei trivial, und dann kriegt man es nicht hin....
Für (ii) -> (iii) kann man zunächst zwei beliebige komplexe Zahlen z1 <> z2 wählen. Man konstruiert zwei gegen c konvergente Folgen: das Bild der Kreisscheibe um c mit Radius 1/n ist nach Voraussetzung dicht in C, in jeder der Kreisscheiben um z1 bzw. z2 mit Radius 1/n findet sich ein Bild aus der 1/n-Kreisscheibe um c, etwa f(x_n) bzgl. z1 und f(y_n) bzgl. z2. Wenn wir nun annehmen, (iii) gelte nicht, dann müssen beide Bildfolgen konvergieren, und nach Konstruktion muss der Grenzwert der Bildfolge sowohl gleich z1 als auch gleich z2 sein, ein Widerspruch.
Hoffentlich stimmt's, und es geht bestimmt auch einfacher....
Hi sorry, dass ich so spät antworte, hatte echt viel zu tun. Ja das ist extrem nervig, wenn diese als trivial deklariert werden. Ich meine in der deutschen Fassung, stand darin noch, es folge nach Definition.
Es gibt eine Sache, die ich nicht so ganz verstehe: Wir nehmen also iii) an, d.h für jede Folge z_n, die gegen c konvergiert, hat (f(z_n)) einen eindeutigen Grenzwert.
f(x_n) konvergiert gegen z_1 und f(y_n) gegen z_2, wobei (x_n), (y_n) beide gegen c konvergieren. Mir ist nicht so klar, wie du zum Widerspruch kommst.
also ChatGPT *hüstl* sagt, dass in der Nähe von c die Funktion unheimlich rumzappelt, weil c eine „essential singularity“ ist... darum kann der Grenzwert also nicht existieren... wegen dem chaotischen Gezappel...
ChatGPT weist darauf hin, dass die „density condition“ sicherstellt, dass f(z_n) beliebig nah an beliebigen komplexen Zahlen dran sein kann...
Hilft das schon? Ich hab nämlich schon keine Ahnung, was ühaupt „D\c“ ist... bedeutet das „D ohne das Element c“? Also „D \ {c}“?
Lieber gleich ein Hustenanfall. Die Aussage ist nicht, dass ein solcher Grenzwert nie existieren kann, sondern dass er nicht für alle Folgen existieren kann.
Genau! Der Ausschnitt kommt aus einem Buch über Funktionentheorie.