Wieso hat ein K-Vektorraum genau zwei Unterräume?

2 Antworten

Ich weiß nicht, was du unter einem "K-Vektorraum" verstehst.

Sollte damit aber ein 1-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K gemeint sein, ist das richtig, wenn die Unterräume, von denen man spricht, auch wieder K-Vektorräume sein sollen.

Die zweite dieser Bedingungen ist eine notwendige.

Der R hoch 2 hat deswegen unendlich viele Unterräume, da ja jede Gerade, die durch den Ursprung der 2-dimensionalen Ebene geht, so ein Untervektorraum ist.

Hi, vielen Dank für deine Antwort:) Was kann man denn noch unter K-Vektorräumen verstehen. Gibt es auch K Vektorräume die noch mehr Dimensionen haben?

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@Qualle12

Gegeben einen Körper K existieren dazu K-Vektorräume ganz beliebig vieler Dimensionen: sogar solche mit unendlich vielen Dimensionen.

Mit anderen Worten: Ist K ein Körper und M irgend eine Menge, so gibt es einen K-Vektorraum, der ebenso viele Dimensionen hat wie M Elemente hat. Man nennt ihn "das kartesische Produkt von K zur Indexmenge M". Seine Elemente sind sämtliche Abbildungen f: M ---> K.

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@grtgrt

Vielen Dank ich glaube ich weiß jetzt was du meinst. K hat dim 1 und K^nxm hat dann dim m, oder?

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@Qualle12

K hoch n (das kartesische Produkt von n Exemplaren des Körpers) hat Dimension n.

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@grtgrt

Aber wenn n sozusagen die Zeilenanzahl und m die Spaltenanzahl ist, wieso ist die Dimension dann nicht m? Wäre nicht bei K^mxn die Dimension n?

Sorry, wenn ich mich gerade total blöd anstelle

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@Qualle12

Die Dimension des kartesischen Produkts K hoch (nxm) ist (nxm), da die (nxm) Zahlen aus K, die einen Vektor aus K hoch (nxm) darstellen ja völlig beliebig gewählt werden können.

Du darfst K hoch (nxm) also nicht verwechseln mit einer (nxm)-Matrix: Ist n die Zahl ihrer Zeilen und m die Zahl ihrer Spalten, so sind die Zeilen Elemente von K hoch m und die Spalten Elemente von K hoch n.

Man kann so eine Matrix lesen als lineare Abbildung von K hoch m nach K hoch n.

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@grtgrt

Tut mir leid, dass ich jetzt so viel nachfrage, aber mir ist noch etwas dazu eingefallen. K ist ja auch ein Vektorraum über sich selbst. Könnte man sich das Ganze so vorstellen, dass K hoch m nach K hoch n in dem Vektorraum K hoch nxm stattfindet?

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@Qualle12

Die sprachliche Wendung "dass K hoch m nach K hoch n im Vektorraum K hoch nxm stattfinde" ist nicht gebräuchlich und wird daher auch von niemand verstanden werden. Auch ich bin nicht sicher, was du damit wirklich meinst.

Richtig ist auf jeden Fall:

Jede Matrix über K, welche n Spalten und m Zeilen hat, kann als lineare Abbildung von K hoch n nach K hoch m verstanden werden (bezüglich der Einheitsbasis in beiden Vektorräumen).

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Der Vektorraum K ist der eindimensionale Vektorraum über dem Körper K. Und der hat nunmal nur sich selbst und den Nullraum als Untervektorraum. R^2 ist zweidimensional und hat daher mehr Unterräume, nämlich wie du ja schon geschrieben hast neben R^2 und {0} noch die Geraden durch den Ursprung.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Danke für deine Antwort:)

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@Qualle12

Nein. Eindimensional ist Gerade. Ein Punkt ist nulldimensional. Schau dir noch mal genau die Vektorraumaxiome an und verwende sowohl für K wie für V z.B. den Körper R.

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@DerRoll

Ok mach ich, vielen Dank:) Dann wäre der Vektorraum K eindimensional, oder?

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