Wieso haben folgende Funktionen diese Nullstellen?

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5 Antworten

Schauen wir uns die erste Funktion an:

y = 4x²  - 25/4

Wie du am dem Quadrat ² sehen kannst, handelt es sich hier um eine quadratische Funktion. Das heißt gleichzeitig, wir sprechen hier nicht von einem Graphen mit einer Geraden, sondern einer Parabel.

Da der Vorfaktor (hier: 4) größer ist als 0, ist die Parabel auch nach oben geöffnet.

Die -25/4 am Ende bedeuten, dass die Parabel um 25/4 nach unten verscoben ist. Dementsprechend kannst du schon anhand davon die Aussage treffen, dass die Funktion 2 Nullstellen haben muss. Eine Parabel, die nach unten verschoben wird, hat immer 2 Nullstellen.

Du kannst die Nullstellen natürlich auch berechnen:

y = 4x² - 25/4

4x² - 25/4 = 0 |+25/4

4x² = 25/4 |:4

x² = 25/16 |√

x1 = 5/4

x2 = -5/4


Den Graphen mit den Nullstellen zu dieser Funktion siehst du nochmal im 1. Bild.


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Kommen wir zur 2. Funktion, hier wird es schon komplizierter:


y= 3(x² - 9)(x+3)

Diese Funktion steht in der sogenannten Linearfaktordarstellung!

Hier kannst du eine Nullstelle sogar direkt ablesen, nämlich x = -3.


Wie du siehst wechselt das Vorzeichen hier. Warum?

Ganz einfach: Nullstelle heißt, wir wollen logischerweise wissen, wo y = 0 ist. Dementsprechend suchen wir immer nach der 0, wie der Begriff Nullstelle ja schon verrät.

Wenn du also y = x + 3 und du willst die Nullstelle wissen, dann berechnest du x so, dass der Term 0 wird.

Hier kannst du das ja auch schnell im Kopf. Was plus 3 ergibt 0? Genau, -3.

Machen wir es nochmal mathematisch:

0 = x + 3 |-3

x1 = -3

Genauso machst du das in den Klammern auch. Du versuchst, dass die eine Seite = 0 ergibt. Da wir in der Funktion y= 3(x² - 9)(x+3) allerdings nur Produkte haben, muss nur einer der Faktoren 0 werden, damit alles null wird.

Beispiel:

5 * 10234 * 41* 9 * 0 = 0

3 (x² - 9)(0) = 0

Deswegen kannst du immer auch die einzelnen Klammern, also Faktoren betrachten und dafür die anderen weglassen.

Nehmen wir die erste Klammer und versuchen dort, die Nullstelle zu berechnen:

y = x² - 9

0 = x² - 9 |+9

x² = 9 |√

x2 = -3

x3 = 3

Das heißt, wir haben insgesamt nicht nur 2, sondern 3 Nullstellen!!

N1/2 (-3 | 0)
N2 (3 | 0)


Das mag dich jetzt verwundern. Das ganze nennt man doppelte Nullstelle, da die beiden Nullstellen eben an der selben Stelle sind.

Schau dir nun einmal das 2. Bild an. Das ist der Grpah zu dieser Funktion. Wenn du die doppelte Nullstelle bei x = -3 mal betrachtest, dürfte dir etwas auffallen:

Der Graph hat genau dort an der doppelten Nullstelle einen sogenannten Hochpunkt (teilweise auch Wendepunkt genannt). Von den quadratischen Funktionen kennst du dies eher mit dem Begriff Scheitelpunkt. Je nachdem, wie weit ihr in der Schule seid, verwendet ihr dort unterschiedliche Begriffe. Der Begriff Wendepunkt wird in der Mittelstufe gerne dafür verwendet. Für mich war der Wendepunkt allerdings ab der Oberstufe etwas ganz anderes, deswegen eher vorsichtig damit, bevor der Lehrer dir den Vogel zeigt! ;)

Dieser ist genau an der doppelten Nullstelle, die logischerweise auf der x-Achse liegt.

Was heißt das nun mathematisch für uns?

Relativ simple: An dieser doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse, er schneidet sie nicht.

Das solltest du dir auch gut merken. Immer, wenn du eine doppelte Nullstelle findest, weißt du genau, dass sich an dieser Nullstelle(n) der Graph direkt wieder wendet, die Steigung danach also das jeweils andere Vorzeichen annimmt.
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Wichtig:

Es kann gut sein, dass das für dich nun komplett neu war, davon gehe ich auch aus. Falls das tatsächlich der Fall ist:

Die doppelte Nullstelle lernt man natürlich erst deutlich später kennen als die "normale" Nullstelle. Wir haben damals auch bei Funktionen mit doppelten Nullstellen diese nur als eine Nullstelle gekannt.

Was ich dir damit sagen will: Wenn du das noch nicht kanntest, dann ist es nicht unbedingt falsch, wenn du sagst, dass die Funktion in diesem Fall nicht ganze 3, sondern "nur" 2 Nullstellen insgesamt hat. Das wäre damals bei mir auch richtig gewesen, mittlerweile natürlich längst falsch.

Deswegen passe das ganze auf euren Stoff und aktuellen Stand an. Ich weiß nicht, in welcher Klasse du bist und wie weit ihr bereits mit dem Stoff seid! :)

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Falls du noch Fragen hast, her damit! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi



Graph der Funktion y = 4x² - 25/4 - (Schule, Mathe, Mathematik) Graph der Funktion y = 3(x²-9)(x+3) - (Schule, Mathe, Mathematik)
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General001 02.11.2016, 08:12

Ich lerne des gerade und hätte es genau so gemacht wie du bloß in den Lösungen von meinem Mathebuch stand da etwas anderes und das hat mich gewundert weil in solchen Fällen wie beim zweiten immer behaupten es gibt nur zwei Nullstellen.

Z.B.: x^2(x+6)

Laut Buch x1 = 0 x2=-6

Aber eigentlich müsste es ja x1/2= 0 x3= -6 heißen.

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TechnikSpezi 02.11.2016, 10:10
@General001

Habe ich mir ja schon gedacht, deswegen auch das "gelaber" am Ende von mir bei "Wichtig" ;))

Wie schon gesagt, damals kannten wir auch keine doppelte Nullstelle und für uns wären auch nur 2 Nullstellen vorhanden gewesen, das war in Klassenarbeiten auch richtig.

Aber irgendwann wurde die doppelte Nullstelle eben eingeführt und seit dem mussten wir natürlich auch diese erkennen und berechnen. Wenn man dann in diesem Fall "nur" 2 von 3 Nullstellen erkannt bzw. berechnet hätte, dann würde da definitiv eine fehlen.

Das Buch ist also noch für Leute, denen die doppelte Nullstelle nicht bekannt ist.

Also nicht wundern, das Buch ist nicht dumm! ;)

Es ist einfach nur auf den Stand angepasst und beinhaltet noch nicht alles, weswegen das vereinfacht wurde. Das kann dann durchaus öfter vorkommen. Das siehst du ja aber auch schnell. Wenn du eine doppelte Nullstelle hast und diese als einfache Nullstelle in den Lösungen vorkommt, kannst du davon ausgehen, dass deine Rechnung stimmt! ;)

Liebe Grüße

TechnikSpezi

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wenn es eine normale Parabel ist berührt sie die x-Achse ja nur 2 mal das heißt es kann auch nur 2 Schnittpunkte geben

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! Aufgabe: Vor einer Wurzel steht immer +- , also 2 Werte!

2. Aufgabe: Es ist eine kubische Funktion (3. Grades) und die hat immer 3 Nullstellen, nur manchmal gibt es eine Doppelnullstelle (berührungspunkt auf x-Achse)!

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Zur ersten Funktion y = 4x² - 25/4

4x² - 25/4 = 0

4x² = 25/4

x² = 25/16

x1 = 5/4 und x2 = -5/4

Zur zweiten Funktion y = 3(x² - 9)(x + 3)

3(x² - 9)(x + 3) = 0

Es muss (x² - 9) = 0 oder (x + 3) = 0 sein, damit die Gleichung aufgeht.

Für (x² - 9) = 0 muss x entweder 3 oder -3 sein, und für (x + 3) = 0 muss x -3 sein. Bei -3 ergeben beide Faktoren 0, aber -3 ist trotzdem nur eine Lösung, da es sich um die identische Zahl handelt.

Es gibt also zwei Lösungen, 3 und -3

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Es gibt eine "dritte Nullstelle": eben die -3!

Satz von Vietà: Jede Polynomfunktion kann durch ihre Linearfaktoren dargestellt werden: f(x)=(x-x₁)·(x-x₂)·(x-x₃).... x₁ etc sind die Nullstellen.

Du hast somit 2× die Nullstelle 3 → bei einer doppelten Nullstelle handelt es sich immer um einen Extremwert (Hoch- oder Tiefpunkt)

Es gibt auch 3-fache Nullstellen (zB: f(x)=x³) - dann handelt es sich um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente

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