Wie zerlege ich Polynome in Linearfaktoren?

7 Antworten

  Nächstens übergib dein Polynom erst mal Wolfram, bevor du was behauptest; es ist nicht meines Amtes, die Aufgabenstellung zu korrigieren.

  Hier ich geb dir jetzt mal paar heiße Tipps; schreib mir doch mal, was du vorher schon kanntest. Hier schau mal, was Pappi alles weiß.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

     Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?

    WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational?

    Den Moment der Erleuchtung bezeichnet das japanische ===> Zen als ===> Satori; Satori, so lehren die Meister, fühle sich an, wie wenn dir ein Tiger ins Genick springt.

    Trotzdem bin ich einer gigantischen Fälschung auf der Spur; die Behauptung von Wiki, der SRN stamme von Gauß, lässt sich bündig widerlegen. Gerade du als Student solltest diesen Argumenten zugänglich sein. Erstmals erfahren habe ich das Teorem im Jahre 2011 in dem Portal ===> Lycos von User " Ribek " , der allerdings weder Quellen angibt noch einen Beweis. Mein eigener Beweis geht dann allerdings weit über das hinaus, was dir in Wiki geboten wird; gleich in der Woche, nachdem mir der SRN bekannt wurde, machte ich drei Grund legende Entdeckungen - eine betrifft den Zusammenhang des SRN mit dem Hornerschema ( und seinen Beweis )

    Dann erfuhr ich von User " Geejay " , dass User, sagen wir " abc " ( Namen nicht mehr erinnerlich ) mit Deaktivierung gedroht worden sei. Dieser abc hatte den SRN in einem interaktiven Matheportal veröffentlicht ( wie heißt das; Mathe.info ? ) Der Administrator machte geltend, Wissen, das in Lycos erarbeitet sei, sei vertraulich zu behandeln; du hast nicht das Recht, damit bei der Konkurrenz hausieren zu gehen ...

    Dann melden sich zwei User, die Studenten  " Stud1 " so wie " Stud2 " Beide kennen nur eine Teilaussage des SRN , betreffend normierte Polynome: Die Alternative, dass eine nicht ganzzahlige Wurzel bereits irrational ist. Stud1 versichert uns Wort reich, eine Verallgemeinerung seiner Alternative " für Leitkoeffizient ungleich 1 " sei bis Heute " nicht bekannt geworden ... " Er habe seinen Assistenten in Algebra verständigt; völlig baff sei der gewesen. Noch nie davon gehört ...

    Stud2 dagegen bringt das Teorem erstmals mit Gauß in Verbindung; Kopf schüttelnd lese ich seine Frage, er habe den SRN ( in dieser reduzierten Form ) als Hausaufgabe auf; wie man den selben beweist ...

    Es fängt ja schon damit an; dem Wikiautor ist überhaupt nicht klar, dass du immer von der ===> primitiven Form des Polynoms ausgehen musst ( warum? ) Oben war ja davon die Rede, dass ich unmittelbar im Anschluss an den SRN drei Entdeckungen gemacht hatte. Gleich die erste betrifft das Zusammenspiel von SRN und Vieta. Sei f ( x ) ein primitives Polynom

     f  (  x  )  €  |Z  [  x  ]  :=  b  (  n  )  x  ^  n  +  b  (  n  -  1  )  x  ^  (  n  -  1  )  +  . . .  +  b3  x  ³  +  b2  x  ²  +  b1  x  +  b0    (  1  )

    Wir wollen aber annehmen, dass ( 1 ) vollständig in rationale Linearfaktoren ( RLF ) zerfällt.

     x  (  i  )  =:  p  (  i  )  /  q  (  i  )  €  |Q  ;  i  =  1  ,  . . . . ,  n     (  2a  )

      Die Darstellung  ( 2a ) werde wie üblich als gekürzt voraus gesetzt. Dann habe ich eine Verschärfung des SRN angegeben

     p1  p2  p3  . . .  p  (  n  )  =  (  -  1  )  ^  n  b0    (  2b  )

     q1  q2  q3  . . .  q  (  n  )  =  b  (  n  )       (  2c  )

    Ich hatte mal einen Lehrer

   " Ist es selbstverständlich, dass zwei Punkte auf einer Geraden liegen?

   Ist es selbstverständlich, dass drei Punkte auf einer Geraden liegen?  "

    In diesem Sinne. Ist es selbstverständlich, dass ein quadratisches Polynom zerfällt,  so bald es einen RLF abspaltet?

  Ist es selbstverständlich, dass ein kubisches Polynom zerfällt,  so bald es einen RLF abspaltet? Für den quadratischen Fall reduziert sich ( 2bc ) zu

     p1  p2  =  a0     (  2d  )

     q1  q2  =  a2    (  2e  )

     Für die Gaußconnection bedeutet ( 2de ) den absoluten Todesstoß. Weder Gauß noch seine Nachfolger sollen bis zu meinem Erscheinen in den vergangenen 200 Jahren auf diese pq-Formeln gekommen sein? ( 2de ) setzen dich in den Stand, die in der Schule gängigen quadratischen Gleichungen durch Raten und Kombinatorik zu lösen.

    Ist Homo Sapiens die Krone der Schöpfung? Zum ersten Mal kennen wir unseren IQ im intergalaktischen Maßstab; IQ = 100 setze ich eine intelligente Rasse, welche ( 2de ) entdeckt auf dem technischen Niveau des alten Babylon.

    Erich v. Däniken ist Recht zu geben; alle Matematik stammt von den Aliens. Und? Warum ist in dem letzten 5 000 Jahren kein einziger Mathelehrer auf ( 2de ) gekommen? Weil schon seit 5 000 Jahren keiner mehr entführt wurde ...

   Dein Polynom

      f  (  x  )  :=  x  ^  4  -  6  x  ²  +  8  x  -  3     (  3  )

    Genau wie bei den DGL gehen wir mit einem Ansatz in ( 3 ) ;  wir setzen nämlich voraus, dass ( 3 ) vollständig zerfällt:

     |  x1;2;3  |  =  1  ;  |  x4  |  =  3    (  4a  )

    ( max Zeichen )

Wie du sicher weißt, hat dieses Forum einen Fehler; dies ist Ergänzung Teil 2 , der dem ersten Teil VORAN gestellt wird. Das ist, wie wenn du dich bei einer zweisemestrigen Vorlesung erst im 2. Semester einschreibst. Ach noch ein Nachtrag; der älteste Quellennachweis von Wiki stammt aus dem Jahre 2005 . Eine ernst zu nehmende Quelle wäre etwa ===> v.d. Waerden - auch dies selbstverständlich eine Widerlegung der Gaußtese.

   An den Support; ich habe hier nichts als Scherereien. Beim Abschicken zerstört er mir den gesamten Eingabetext und wenn ich zwischen speichere, vor allem die Formatierung.

     Und jetzt weiter

         | x1;2;3 | = 1 ; | x4 | = 3        ( 1.4a )

          Aber wie verteilen wir die Vorzeichen? Dafür gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( CV )

" Einmal Minus, drei Mal Plus "

           x1 < 0 < x2 < = x3 < = x4       ( 2.1 )

        Die CV stellt schon eine ernsthafte Hürde dar; nicht jedes Polynom 4. Grades hat 4 reelle Nullstellen. Somit verbleiben zwei Alternativen; Diskriminante ist der Koeffizient a3 aus dem Satz von Vieta.

         a3 = - ( x1 + x2 + x3 + x4 )      ( 2.2a )

        x1 = ( - 3 ) ; x2;3;4 = 1 ===> a3 = 0      ( 2.2b ) ; ok

           x1 = ( - 1 ) ; x2;3 = 1 ; x4 = 3 ===> a3 = ( - 4 )     ( 2.2c )

Hinreichender Beweis ist natürlich immer der Vieta von ( 1.3 ) ===> symmetrische Funktionen. Uns fehlen noch die Koeffizienten a1;2 . Dabei enthält a2 insgesamt ( 4 2 ) = 6 Binome

           a2 = x1 ( x2 + x3 + x4 ) + x2 ( x3 + x4 ) + x3 x4 =     ( 2.3a )

               = - 3 ( 1 + 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + 1 = ( - 6 )     ( 2.3b )   ;    ok

         und a1 besteht aus ( 4 3 ) = 4 Trinomen ( " Ein-Loch-Zuständen " )

             a1 = - [ ( x1 + x2 ) x3 x4 + x1 x2 ( x3 + x4 ) ] =      ( 2.3c )

                  = - [ ( 1 - 3 ) - 3 ( 1 + 1 ) ] = 8      ( 2.3d )    ;    ok

Mit der korrigierten Version kommt man ganz schnell auf die Nullstellen 3 und -1, also die Linearfaktoren (x-3) * (x+1). Das kann man ausmultiplizieren und die Funktion gleich durch das Produkt teilen. Dann braucht man es nicht einzeln zu machen, denn das Prinzip der Polynomdivision ist ja dasselbe.

Die entstehende quadratische Gleichung hat immer noch zwei relle Lösungen, die mit der p,q-Formel herauszubekommen sind.

---

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