Wie zeigt man nicht abelsche Gruppen und Normalteiler?

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1 Antwort

Zu (i):

(a,b) ∘ (c,d) = (a+c, (-1)^c b + d)

(c,d) ∘ (a,b) = (c+a, (-1)^a d + b)

sieht nicht gleich aus, zumindest nicht immer, oder?

Etwa für a gerade, c ungerade.

zu (ii)

Zeige z.B. ∀ g ∈ G: gNg⁻¹ = N, mit g =(a,b) und N = 2Zx2Z

Wie das Inverse von (a,b) aussieht, weißt du ja vom Nachweis der Existenz für die Gruppenaxiome. 2Zx2Z läßt sich auch leicht ausrechnen.

Dann läßt sich damit obiges mit einem Zwei- oder Dreizeiler hinschreiben.

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Kommentar von Physikus137
24.11.2016, 08:27

Die Elemente von N = 2Zx2Z haben die Form (4, a+b)

Das Inerse zu g = (a, b) hat die Form (-a, −(-1)^(-a)⋅b)

Damit wird gNg⁻¹ zu:

(c, d) (4, a+b) (-c, (-1)^(-c)d) = ...

... = (c+4, (-1)^4 d+a+b) (-c, −(-1)^(-c)d) = ...

... = (c+4-c, (-1)^(-c)(d+a+b) −(-1)^(-c)d) = (4, a'+b') mit a' = (-1)^(-c)a und b' = (-1)^(-c)b

und (4, a'+b') ∈ 2Zx2Z 

q.e.d

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