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  1. Die Summanden dieser Reihe sind positiv, damit bleibt nur, wenn sie konvergiert, die absolute Konvergenz.
  2. Die Kenvergenz kannst du entweder direkt durch die epsilon-Definition zeigen oder bequemer durch einen Hilfssatz.
  3. Ich würde hier praktisch sofort das Quotienten-Kriterium verwenden wollen.

Mit dem Quotienten-Kriterium testen wir, ob sich eine Majorante für die Folgenglieder in Form einer geometrischen Folge finden lässt, d.h., wir schauen, ob es ein reelles q gibt mit 0 <= r < 1 (beachte: wirklich kleiner 1), so dass ab einem K für alle k>K gilt, dass der Quotient aus dem k-Glied und dem (k+1)-Glied kleiner oder gleich r ist.

Man geht hier praktischer Weise so vor, dass man sich erstmal die Summanden ausgeschrieben ansieht. Das ist hier eben das Inverse eines binomischen Koeffizienten

a[k]= (3k)! * (4k-3k)! /(4k)! = (3k)! * k! /(4k)!

damit lautet der Quotient (Ich habe bereits im Kopf einige Klammern aufgelöst, einfach um Schreibarbeit zu sparen).

q = a[k+1] / a[k] = ( (3k+3)! * (k+1)! ) / (4k+4)! * (4k)! / ( (3k)! * k! )

Die Fakultäten lassen sich auch im Kopf sehr einfach miteinander verrechen

q = ( (3k+1)(3k+2)(3k+3) * (k+1) ) / (4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)

Und weiter vereinfacht sich das zu

q = (3/4) ( (3k+1)(3k+2)*(k+1) ) / (4k+1)(4k+2)(4k+3)

Man sieht hier sofort (oder?), dass q(k) immer kleiner als 1 ist; der Nenner ist größer als der Zähler (da ja k>=1) gilt und durch den 3/4 Faktor bleibt q auch für k gegen unendlich immer kleiner als 1. q(k) strebt (von unten) gegen 3/4.

Damit sind wir bereits fertig. Denn wir wissen:

Mit der Wahl r=3/4 lässt sich eine Majorante in Form einer geometrischen Folge konstruieren. Deren Reihe konvergiert aber immer. Das Quotienten-Kriterium ist also erfüllt und deine Reihe muss konvergieren.

Und weil die Summanden alle positiv sind muss sie sogar absolut konvergieren.

q.e.d.

vielen Danke! sehr gut erklärt hab verstanden :D

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