Wie zeige ich das (K, +, *) kein Körper ist, wenn folgendes gilt?

 - (Mathe, Mathematik, Körperaxiome)

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Hallo,

es geht da wohl um die Restklassenkörper der Modulo-Rechnung.

Z(3) zum Beispiel sind die Reste, die bei einer Division durch 3 auftreten können, also {0;1;2}

Zur Restklasse 0 gehören mithin alle durch 3 teilbaren Zahlen, also 3;6;9...3n

Zur Restklasse 1 gehören alle Zahlen, die nach einer Division durch 3 einen Rest von 1 lassen, also 1;4;7;...3n+1

Zur Restklasse 2 entsprechend 2;5;8;...3n+2.

Jede Restklasse Z(k) besitzt mit der 0 und der 1 (nicht zu verwechseln mit den Zahlen 0 und 1, hier geht es um die Reste, die bei einer Division entstehen) ein Nullelement und ein Einselement.

Wenn k allerdings nicht prim ist, bekommst Du Prebleme mit dem Einselement.

Wenn Du zum Beispiel eine Produkttafel aus den Restklassen anfertigst, wobei Du die 0 ausschließt, hast Du, wenn k prim ist, in jeder Zeile und Spalte den Rest 1.

Ist k dagegen zum Beispiel gleich 4, wirst Du kein Element k^(-1) finden, das zu einer 1 führt, wenn Du die Reste verdoppelst.

Hast Du eine Zahl, die mod 4 1 ergibt, wie zum Beispiel 5, ergibt sich nach Verdoppelung ein Rest von 2. Bei einer Zahl wie der 6, die einen Rest von 2 ergibt, kommst Du bei Verdoppelung auf eine durch 4 teilbare Zahl (hier: 12), die einen Rest von 0 hat, der in der Tabelle ausgeschlossen ist.

Bei Rest 3 wie etwa bei der Zahl 7, kommst Du wieder auf einen Rest von 2.

Du wirst in der Zeile mit der 2 niemals eine 1 oder eine 3 finden.

So geht es mit allen Restklassenkörpern mit k, das nicht prim ist.

Irgendwo wirst Du immer auf eine Zeile stoßen, in der keine 1 auftaucht, weil das Vielfache des Restes glatt in k aufgeht, denn jede Zahl, die nicht prim ist, läßt sich in zwei Faktoren kleiner k aufspalten.

Diese beiden Faktoren müssen in der Multiplikationstabelle, die in Zeile und Spalte alle Zahlen von 1 bis k-1 umfaßt, zwangsläufig aufeinandertreffen, ergeben k und damit einen Rest von 0, die ja ausgeschlossen sein soll.

Außerdem findest Du dadurch zwangsläufig eilen, in denen es keine 1 gibt.

Vergleiche einmal die Multiplikationstabellen der Restklassen 5 (prim) und 6 (nicht prim):

1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1

Zur Erklärung: Nach Ausmerzen der Null werden in der ersten Teile die möglichen Reste einer Division durch 5 von Zahlen, die keine Vielfachen von 5 sind, also die Reste 1,2,3,4 mit 1 multipliziert und ergeben natürlich auch 1,2,3,4

In der zweiten Zeile multiplizierst Du mit 2. Sobald das Ergebnis größer als 5 wird, schreibst Du nur den Divisionsrest hin:

2,4,1 (denn 2*3=6 und 6/5=1 Rest 1), 3 (denn 2*4=8 und 8/5=1 Rest 3)

Ich denke, die Zeilen 3 und 4 erklären sich jetzt von selbst.

Machst Du das Gleiche mit k=6, also mit den Restklassen 1 bis 5, bekommst Du folgendes:

1 2 3 4 5
2 4 2 4 2 (damit hat sich das mit der Gruppe und erst recht mit dem Körper erledigt, weil das inverse Element fehlt, das in der Tabellenzeile zu 1 führt und Du brauchst die Tabelle gar nicht weiterzuführen).

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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da fehlt was bei der angabe .. vorherige aufgaben anschauen wie da k definiert war

k kommt tatsächlich nur in dieser Aufgabe vor. Die Definition ist aber ja auch gegeben durch k e N und k>=2, keine Primzahl als Fall, der zu betrachten ist

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Zk ist nicht genau definiert. Aber offensichtlich gibts da eine Übereinkunft der Mathematiker dass man sofort weiss was Zk ist auch wenn keine Definition angegeben. Es bringt nichts zu wissen dass k keine Primzahl ist, wenn sie ansonsten nicht in der Formel vorkommt.

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