Wie zeige ich das eine Rationale Folge mit reellem grenzwert eine Rationale Cauchy folge ist?

2 Antworten

Wie sieht die Folge denn genau aus? Weißt du was eine Cauchy Folge ist? In R ist jede konvergente Folge eine Cauchy Folge und jede Cauchy Folge ist konvergent, d.h. wenn du bereits weißt dass die Folge konvergent ist ist sie auch eine Cauchy-Folge (dies ist nebenbei äquivalent zum Supremumsprinzip und zum Prinzip des Dedekinschen Schnitts. Jede dieser Aussagen macht R zu einem sog. vollständigen Raum und jede der drei Aussagen kann aus einer der beiden anderen bewiesen werden).

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Also, du hast eine Folge (a_n) mit a_n\in Q, die einen Grenzwert hat in R, aber nicht unbedingt in Q hat. Soweit richtig?

Jetzt willst du zeigen, daß die Folge in Q eine Cauchy-Folge ist. Das sollte gar kein Problem sein - Definition hinschreiben und ausrechnen. Konvergente Folgen sind auch in Q Cauchy-Folgen, auch wenn der Grenzwert nicht unbedingt in Q liegt.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

ich weis was eine Cauchy folge ist aber was ist eine rationale Cauchy folge?

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@ShimaG

Exakt so ist es. Es ist eine Folge, die lediglich aus rationalen Zahlen besteht. Dafür gibt es viele viele Beispiele, so z.B. die Folge der Intervallschachtelungen für sqrt(2), die Partialsummen der Exponentialreihe, die Summe über 1/n^2, die alternierende harmonische Reihe usw. usw. Alle diese Folgen haben zwei Dinge gemeinsam: sie sind Cauchy-Folgen und sie bestehen ausschließlich aus rationalen Zahlen.

Nun hat man eben drei Möglichkeiten:

  • Man nimmt das Supremumsprinzip an. Damit kann man zeigen dass alle diese Folgen einen Grenzwert haben ( und zwar sqrt(2), e, pi^2/6, ln 2). Alle diese Grenzwerte sind irrational.
  • Man bildet den Dedekinschen Schnitt und erhält wieder genau am Punkt des Schnittes die o.a. Grenzwerte.
  • Man DEFINIERT den "Wert" der Folge als gerade ihren Grenzwert, d.h. man nimmt einfach an dass jede Cauchy-Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert.

Alle drei Aussagen sind äquivalent zueinander, führen zu den selben Ergebnissen für den Grenzwert und damit zu der Vervollständigung von Q nach R. Ebenso kann man unter Annahme je einer der drei Aussagen die anderen beiden beweisen.

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