Wie zeige ich Assoziativität von gegebenen Matrizen?

 - (Schule, Mathematik, lineare-algebra)

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Es steht schon in deiner eigenen Überschrift: Wegen Assoziativität (die du NICHT hier zumindest beweisen musst) gilt

((A·B)·C)·D = (A·B)·(C·D) = A·(B·(C·D)) = A·((B·C)·D)

und alles davon bezeichnen wir als A·B·C·D. Zweitens, sobald all diese äquivalenten Produkte berechnet wurden, erhältst du durch Transponieren:

(A·B·C·D)ᵀ = Dᵀ·Cᵀ·Bᵀ·Aᵀ.

Ende. Ich wiederhole: hier besteht die Aufgabe nicht darin, Assoziativität zu beweisen, sondern sie zu verwenden/erwähnen. So verstehe ich die Sprache des Übungsgruppenleiters zumindest.

in c) sollst du wohl einfach sagen dass das Alles Matrizen sind und bei Matrizen das Assoziativgesetz gilt.

Kann auch sein dass manche der Ausdrücke erst gar nicht definiert sind und demnach womöglich nur einer davon überhaupt definiert ist und demnach berechenbar ist.

Was ich jetzt mal behaupte: Nur quadratische matrizen können überhaupt ivnertierbar sein.
Ausserdem, wenn A und B Matrizen sind, dann ist AB nur definiert wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist.
Demnach sind manche der Ausdrücke (oder offenbar die Meisten) gar nicht erst definiert.

Fällt dir auf, dass die Multiplikationsreihenfolge identisch sind? Das Kommutativgesetz gilt zwar nicht, sehr wohl aber das Assoziativgesetz.

((A * B) * C) * D = (A * B * C) *D = (A * B) * (C * D) = A * ((B * C) * D). Im letzten Term wird alles transponiert daher rückwärts.

Das Assoziativgesetz lässt sich aus der Definition der Matrixmultiplikation ableiten: https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation#Definition

[...] also durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der i-ten Zeile von A mit der K-ten Spalte von B und durch Summation all dieser Produkt.

Es ist offensichtlich egal, ob man zuerst (A * B) und dann * C rechnet, oder A * (B * C): Läuft auf's selber hinaus, weil die interne Addition und Multiplikation assoziativ sind.

Es ist hingegen nicht kommutativ, weil bei A * B und B * A jeweils Zeilen und Spalten umgetauscht werden.

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