Wie würdet ihr die folgende Aufgabe lösen?

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6 Antworten

Wenn 2/3 x mod 3 = 1, dann ist 2x durch 3 teilbar, da sonst 2/3 x keine ganze Zahl wäre. Formal begründen wir das, indem wir die Gleichung mit 3 multiplizieren, dann 2x mod 3 = 3 mod 3 = 0. Da 2 und 3 teilerfremd sind, ist x durch 3 teilbar.

Mit einem analogen Argument (aus der zweiten Gleichheit) ist x durch 9 teilbar (indem man 2/3 x = u setzt und sieht, dass die Gleichung 2/3 u mod 3 = 1 identisch ist, also 2u durch 3 teilbar -> u durch 3 teilbar -> 2/3 x durch 3 teilbar -> x durch 9 teilbar [da 2 und 3 teilerfremd]). Wenn x aber durch 9 teilbar ist, dann ist 2/3 x durch 3 teilbar, also 2/3 x mod 3 = 0. Also leider keine Lösung.

LG

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Hallo,

ich schließe mich der Ansicht von gfntom an. Im Unterschied zu ihm hatte ich gleich bei 8/27 angefangen. Damit sich hier eine natürliche Zahl ergibt, die nach Division durch 3 einen Rest von 1 läßt, muß x auf jeden Fall ein Vielfaches von 27 sein, da 8 und 27 teilerfremd sind. Damit Du auf einen Rest von 1 kommst, kann es sich hier nur um 2*27; 5*27; 8*27 usw. handeln, da nur Zahlen wie 3n+2, mit 8 multipliziert, mod3=1 sind: 16, 40, 64 usw.

Wenn ich aber diese Zahlen in den zweiten Summanden (4/9)x einsetze, also 27*(3n+2), komme ich wegen der Division durch 9 auf 3*4*(3n+2), was immer eine Zahl ergibt, die mod3=0 ist und somit die Voraussetzungen nicht erfüllen kann.

Herzliche Grüße,

Willy



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Ich bin nicht sicher, aber ich glaube es gibt keine Lösung:  

2/3 x mod 3 = 1
bedeutet 2/3 x = a * 3 +1   // a ganzzahlig
des weiteren muss x durch 3 teilbar sein, um den Bruch loszuwerden.

also 2 x = a * 9 + 3 -> x = 6, 15, 24 (also 6 + u * 9)

für 4/9 x mod 3 = 1  folgt in analoger Betrachtung

4 x = b * 27 + 9 -> x = 9, 36, 63 (also 9 + v * 27)

und

für
8/27 x mod 3 =1
8 x = c * 81 + 9 -> x = 54, 135 (also 54 + w * 81)

Wenn ich mich in der Eile nicht vertan habe, gibt es keine ganzzahligen Lösungen für u, v und w, die auf das (oder die) selbe(n) x führen.

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Zunächst einmal würde ich zurückfragen, was denn nun mit diesen Brüchen gemeint ist.

Als Programmierer denke ich natürlich zuerst an die Verwendung der Abrundungs-Funktion (Gaußklammer, in Programmiersprachen meist Floor genannt):

z. B. 17/5 mod 3 =((17/5)/3) - Floor((17/5)/3) * 3 = 2/5

Es kann aber auch die multiplikative Inverse im ℤ_n gemeint sein. In diesem Beispiel spricht dagegen, dass im ℤ_3 3 = 0 ist.

Dann kann noch gemeint sein, dass der erste Operand des mod-Operators eine ganze Zahl sein soll, d. h. x muss ein Vielfaches von 27 sein. Aber auch dann wäre das Ergebnis des mod-Operators im ersten Fall = 0.

Also bliebe nur die Frac-Funktion (Identität minus Floor-Funktion), skaliert auf 3:

Frac(((2/3)x)/3)*3 = Frac(((4/9)x)/3)*3 = Frac(((8/27)x)/3)*3 = 1

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Kommentar von Roach5
17.08.2016, 14:48

Aus der ersten Gleichung folgt bereits, dass x eine ganze Zahl sein muss. Also haben wir leider auch keine reelle Lösung, wenn ich das richtig erkenne.

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Kommentar von PWolff
17.08.2016, 14:50

Aber da krieg ich so was raus wie 0 kongruent 2 (mod 3)

0

Das klingt nach chinsischem Restsatz. 

(2/3)x ≡ 1 mod 3 

(4/9)x ≡ 1 mod 3 

(8/27)x ≡ 1 mod 3 

Wie man da mit Brüchen umgeht weiß ich aber nich mehr, sorry.

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Kommentar von kepfIe
17.08.2016, 14:01

Von allem was ich jetzt ergooglet hab (Zahlentheorie is nich so meins) bin ich der Meinung dass das gar nicht lösbar ist, weil [27]=[9]=[3]=[0], und somit alles Nullteiler in mod 3. 

Oder soll das eine echte Lösung haben?

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 gfntom war nahe dran.

Die erste Kongruenz wird von 6+9v erfüllt, die zweite von 9 + 27w = 9 + 3*9v

Die beiden Lösungsmengen sind disjunkt. Es gibt keine ganzzahlige Lösung.

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