Wie wird das Volumen maximal?

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2 Antworten

Hallo,

der Radius des Kreises ist a/2+die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks, das über der Kante des inneren Quadrates konstruiert ist, also r-(a/2).

Dann ist die Höhe der Pyramide nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus {[r-(a/2)]²-(a/2)²}=√(r²-ar+a²/4-a²/4)=√(r²-ar)

Das Volumen berechnet sich aus (1/3)*a²*h,

also (1/3)*a²*√(r²-ar)

Die Zielfunktion lautet also f(a)=(1/3)*a²*√(r²-ar)

Um die Ableitung nach a zu bilden (r ist ja eine vorgegebene Konstante), wendest Du die Produkt- und die Kettenregel an:

f'(a)=(2/3)a*√(r²-ar)-(1/3)a²/[2√(r²-ar)]

Um das Maximum zu finden, setzt Du f'(a) gleich Null:

(2/3)a*√(r²-ar)=(1/3)a²/[2√(r²-ar)] |*√(r²-ar)

(2/3)a*(r²-ar)=(1/6)a²

(2/3)ar²-(2/3)a²r=(1/6)a²

a*[(2/3)r²-(2/3)ar-(1/6)a]=0 |:a

(2/3)r²-a*[(2/3)r-1/6]=0

a=[(2/3)r²]/[(2/3)r-1/6]


Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Wechselfreund
15.03.2016, 14:32

Fehlt evtl. in f' im hinteren Teil die innere Ableitung r?

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Zielfunktion: V = 1/3 a²·h

Nebenbedingungen: h = Wurzel (ha² + a²/4) S d P

                                   2 ha + a = 2r

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Kommentar von BestOnce
15.03.2016, 13:45

falsch

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Kommentar von Polynomo
15.03.2016, 13:48

Aber Vorsicht, nicht verwechseln: Das  a  bei  ha  entspricht  nicht  dem  a  der Volumenformel, sondern ist als Index zu verstehen, bezeichnet  bei  ha  also die Höhe der Dreiecke.

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Kommentar von UlrichNagel
15.03.2016, 13:51

Und natürlich ableiten für Max.

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Kommentar von BestOnce
15.03.2016, 14:22

das soll a quadrat durch 3 heißen

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