Wie wendet man die quadratische Ergänzung an?
Hallo,
ich verstehe die quadratische Ergänzung vom Anfang (also mit dem a ausklammern) aber dann die weiteren Schritte überhaupt nicht!
Ich habe mir schon unzählige Erklärvideos, Erklärungen im Schulbuch, Hefteinträge, Antworten auf Gutefrage angeschaut, aber ich verstehe es nirgends. Überall ist es kompliziert und ich kann die Schritte nicht nachvollziehen.
Vielleicht finde ich ja hier jemanden, der mir es Schritt für Schritt nicht so kompliziert erklären kann.
Danke im Voraus
2 Antworten
Ich hoffe du kennst die binomische Formel (a + b)² = a² + 2*a*b + b² (*) noch.
Das Ziel der quadratischen Ergänzug ist es, einen quadratischen Polynomterm
g(x) = a*x² + b*x + c
in ein Binom und in einen Rest, der kein x enthält zu verwandeln. Ich gehe der Einfachheit halber (Mathematiker nennen das "ohne Beschränkung der Allgemeinheit" oder o.B.d.A.) davon aus das a bereits ausgeklammert ist, wir also einen Term
h(x) = x² + p*x + q (**)
haben. Um den Teilterm x² + p*x zu einem Binom zu ergänzen (daher kommt der Begriff "Ergänzung") muß zunächst aus dem p ein 2*(p/2) gemacht werden:
x² + p*x = x² + 2*(p/2)
Nun wird (p/2)² "ergänzt" und wir erhalten
x² + 2*(p/2)*x + (p/2)² = (x + p/2)² (***)
Wir haben den Wert mit dem "ergänzt" werden muß also gefunden. Nun kommt ein Trick der immer wieder wichtig sein wird. Wir formen den Term in (**) um, indem wir ein +0 einsetzen und dies tun wir, indem wir den Teilterm p/2 - p/2) (= 0) zu (**) hinzu fügen. Überlege dir selbst warum das den Wert von (**) nicht ändert:
h(x) = x² + p*x + q = x² + p*x + p/2 - p/2 + q = x² + 2*(p/2) + p/2 - p/2 + q
Nun können wir die in (***) gefundene Beziehung ausnützen und erhalten schließlich
h(x) = x² + 2*(p/2) + p/2 - p/2 + q = (x + p/2)² - p/2 + q
Damit haben wir das oben formulierte Ziel erreicht. Wir haben ein Binom (x + p/2)² und einen Teilterm der kein x mehr enthält - p/2 + q
Warum ist das nützlich? Zunächst kann mit nun einfachen Umformungen die Gleichung x² + p*x + q = 0 gelöst werden. Diese Umformungen führen zur sogenannten pq-Formel (und wenn ein a vorhanden ist zur sogenannten abc- oder Mitternachtsformel). Weiter läßt sich aus der Gleichung der quadratischen Ergänzung der sogenannte Scheitelpunkt der Parabel h(x) leicht ablesen, er liegt nämlich bei
xs = -p/2, ys = -p/2 + q
xs ist gerade der Wert bei dem der Term innerhalb der Klammer zu 0 wird, ys ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel (je nachdem ob a > 0 oder a < 0).
Versuche zunächst mal die Rechenschritte nachzuvollziehen. Aber dann kann ich dir nur die Empfehlung geben das Verfahren stur auswendig zu lernen und dich nicht auf ein "warum muß ich das machen" zurück zu ziehen. Denn das führt nur zu Verwirrung und Frust.
Ausgangsform x² + b*x + c
1. Schritt
x² + b*x + c + (b/2)² - (b/2)²
2. Schritt
[ x² + b*x + (b/2)² ] + c - (b/2)²
Den Ausdruck in der eckigen Klammer umformen:
(x + b/2)² + c - (b/2)²
3. Schritt
(x² + b/2)² + d, mit d = c - (b/2)²
fertig
Lautet die Ausgangsform a*x² + b*x + c, mit a != 1
dividiert man erstmal alle Terme durch a
x² + b/a*x + c/a
Dann macht man weiter wie oben.
Am Ende multipliziert man dann wieder alle Terme mit a:
a*(x² + b/2)² + a*d
###
Beispiel:
1/2*x² - 4x + 5
Faktor a=1/2 eliminieren:
x² - 8x + 10
1. Schritt (b/2 = -8/2 = -4)
x² - 8x + 10 + (-4)² - (-4)²
2. Schritt
[x² - 8x + (-4)²] + 10 - (-4)²
ist identisch mit
(x - 4)² + 10 - (-4)²
3. Schritt
(x - 4)² + 10 - 16 = (x - 4)² - 6
Jetzt wieder den Faktor a = 1/2 berücksichtigen:
1/2*(x - 4)² - 1/2*6 = 1/2*(x - 4)² - 3