Wie wandelt man polynomdarstellungen in eine scheitelpunktform um?

3 Antworten

Wenn du eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform bringen möchtest, machst du das mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Die funktioniert wie folgt: du ergänzt einen Summanden so, dass du die binomische Formel quasi rückwärts anwenden kannst, d.h. in ihre faktorisierte Form bringst.

Der Wert der Gleichung darf sich dabei nicht ändern.

Hier ein Beispiel: f(x)=x^2-2x+3

Die beispielhafte Funktionsgleichung lässt jetzt erst mal keine Faktorisierung zu. Durch geschicktes ergänzen kann allerdings aus den ersten zwei Ausdrücken die binomische Formel in ihre faktorisierte Form gebracht werden. Dafür ergänzt du das fehlende b^2 (s. Bin. Formeln), indem du dir den Summanden -2x anschaust, dieser entspricht 2ab. Dein zu ergänzender Summand ist also 1^2.

Du erhältst f(x)=x^2-2x+3+1-1

Faktorisieren und verrechnen der Summanden bringt dich direkt zur Scheitelpunktform

f(x)=ax²+bx+c=a(x²+b/a * x+c/a)=a(x²+b/a * x+(b/(2a))²-(b/(2a))²+c/a)

=a(x+b/(2a))²-b²/4a+c

Hast du ein konkretes Beispiel?

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