Wie wäre es Sinnvoll hier die Gleichung zu lösen?

4 Antworten

Um die Lösungen der Gleichung zu berechnen, musst du sie erst einmal nullstellen:

x⁴ - 6x² = -5 |+5

x⁴ - 6x² + 5 = 0

Ausklammern geht nicht, weil wir die 5 ohne die Variable x haben. pq-/abc-Formel geht auch nicht, weil wir x⁴ und x² statt x² und x haben. 

Hier bleibt also noch die Substitution. Dabei gilt:

►► x² = z

Aus x⁴ - 6x² + 5 = 0 wird damit:

z² - 6z + 5 = 0

Nun können wir wie gewohnt die pq-/abc-Formel anwenden. Ich in Nordrhein-Westfalen habe die pq-Formel gelernt und wende diese nun auch an. Dabei ist 

p = -6 

und 

q = 5. 

Wichtig: In der pq-Formel steht "-q". Beim Einsetzen wechselt das q somit sein Vorzeichen!

z1/2 = -p/2 ± √((p/2)² - q)

z1/2 = 6/2 ± √((6/2)² - 5)

z1/2 = 3 ± √(9 - 5)

z1/2 = 3 ± √4

z1/2 = 3 ± 2

z1 = 5

z2 = 1

Nun müssen wir noch resubstituieren. Nun gilt also:

►► x = ±√z

Damit bekommen wir folgende Lösungen für die Gleichung:

  • x1 = √5
  • x2 = -√5
  • x3 = 1
  • x4 = -1

Falls du noch mehr Hilfe bei der Substitution brauchst, kannst du dich hier informieren oder mich fragen:

https://de.serlo.org/mathe/artikel-und-videos-aus-serlo-1-spaeter-loeschen/substitution

https://youtube.com/watch?v=dWRl_XXfo7Q

Liebe Grüße

TechnikSpezi

VIelen lieben dank ! Echt super Antworten ich habe es verstanden es hackt nur noch bei der resubstituieren. Und im Video verstehe ich das auch nicht ganz weil dort 2 Lösungen raußkommen und bei mir 4.

MFG

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@snickera

Freut mich sehr das zu hören! :)

[...] es hackt nur noch bei der resubstituieren

Wir haben ja zu Beginn folgende Bedingung aufgestellt, damit wir substituieren können:

z = x² 

Das heißt, aus jedem x² wird nun z. Aber wenn wir das nur so lassen würden, wären unsere Lösungen ja falsch bzw. eben für eine andere Gleichung, bei der wir das ersetzt haben. Aber wir wollen ja die Lösung für die Ursprungsgleichung mit der Variable x und nicht z haben. Deswegen müssen wir am Ende die Bedingung z=x² wieder "umkehren". Wir machen also das Gegenteil. 

Aus z = x² wird nun die Resubstitution: x = ±√z

Das ist also einfach die Gegenoperation

Das heißt, wir ziehen aus unseren Lösungen (hier waren es zwei) die Wurzel. Sowohl mit positiven als auch mit negativen Vorzeichen, deswegen das ±. Deswegen bekommen wir auch aus 2 ursprünglichen Lösungen für z nun 4 Lösungen.

Und im Video verstehe ich das auch nicht ganz weil dort 2 Lösungen raußkommen und bei mir 4.

Schau dir die Stelle nochmal genau an. Das müsste erklärt werden.

Das liegt daran, weil in der Gleichung im Video eine Lösung für z die -4 ist. Wie du aber wissen solltest, können wir (im Bereich der reellen Zahlen, also in der gesamten Schulmathematik) keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Deswegen kann man die Lösung für x1=√-4 und x2=-√-4 auch nicht berechnen. Es ist nicht definierbar. Deswegen fallen von den möglichen 4 Lösungen auch zwei weg. Wir hatten aber nur positive Ergebnisse und deshalb bekommen wir aus 2 Lösungen für z auch 4 Lösungen für x, wenn wir eben die ±Wurzel ziehen.

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@TechnikSpezi

Vielen dank ! Echt super erklärt. Einfach Top ! Wir werden uns heute glaub ich auf dieser Plattform noch sehr oft begegnen :-)

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@snickera

Bitte & danke! :))

Musst mir aber ggf. Bescheid geben (kannst mir auch eine FA schicken und mich dann per Nachricht auf eine Frage hinweisen). Ich bin ja auch keine Maschine, die durchgehend hier online ist und jede Frage mitließt;)

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Am sinnvollsten wäre es, eine Zwischenvariable u = x² einzuführen und u²-6u=-5 zu lösen.

Wie bitte ?

Trzdm danke erstmal :-)

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@snickera

Das Verfahren nennt man Substitution. Vielleicht hilft dir der Begriff weiter. In meiner Antwort habe ich diese ausführlich angewendet. 

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Erstmal + 5 und dann Substitution

p : = x^2

Später wieder mit Wurzel Rücksubstituzion.

Wir haben diese Themen neu. Ich kenne das nicht so wirklich deshalb lerne ich die Ferien jetzt durch. Diese Begriffe sagen mir wirklich nichts

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Soll ich jetzt +5 also die 5 hinter die Klammer setzen und dann = 0 machen ??

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@snickera

Du schreibst: Substitution x^2=t dann lautet deine Gleichung

 t^2-6t=-5 dann bringst du die 5 rüber 

t^2-6t+5=0

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@Jo3344

Dann machst du die Mitternachtsformel oder pq formel je nachdem welche ihr im unterricht macht

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x^4-6x^2=-5 I + 5

x^4 -6x^2 + 5 = 0

Schau dir folgendes an :

(x^2)^2 -6(x^2) + 5 = 0

Nun siehst du zweimal x^2, also denkst du dir ich ersetzte mal das x^2 durch eine beliebige Variable z.b p, also :

p := x^2

p^2 -6p + 5 = 0

Nachher musst du, aber alles wieder Zurück ersetzen.

Also von deinem Ergebnis die zweite Wurzel ziehen und fertig.

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