Wie viele stellen hat Pi nach dem Komma?

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3 Antworten

Pi ist transzentent, d.h. es besitzt unendlich viele Nachkommastellen, bei denen es nicht einmal ein System der Anordung gibt. Daher kann Pi immer nur gerundet angegeben werden.

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Kommentar von Elsenzahn
04.12.2012, 07:45

Pi ist transzentent, d.h. es besitzt unendlich viele Nachkommastellen

Es heißt, dass die betreffende Zahl nicht Lösung einer algebraischen Gleichung ist.

bei denen es nicht einmal ein System der Anordung gibt

Das heißt es erst recht nicht. Zum Beispiel die Liouvillesche Zahl besteht nur aus den Ziffern 1 und 0 und die sind nach einem sehr einfachen "System" angeordnet, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Liouvillesche_Zahl

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Pi ist irrational, daher ist die Dezimaldarstellung von Pi unendlich und nicht periodisch. Denn jede irrationale Zahl hat unendlich viele, nicht-periodische Nachkommastellen.

Woher weiß man das?

Erstmal:

  • Rationale Zahlen sind die, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen (gewöhnlicher Bruch) darstellbar sind.
  • Irrationale Zahlen sind die, die nicht Verhältnis zweier ganzer Zahlen (gewöhnlicher Bruch) darstellbar sind.

Man kann nun beweisen:

  • Jede rationale Zahl hat im Dezimalsysstem entweder eine abbrechende (endliche) Darstellung, oder die Dezimaldarstellung ist ab irgendeiner Stelle periodisch (und umgekehrt stellt jede solche Dezimalzahl eine rationale Zahl dar).
  • Jede irrationale Zahl hat im Dezimalsystem eine nicht-abbrechende (dh: unendliche) nicht-periodische Darstellung (und umgekehrt stellt jede solche Dezimalzahl eine irrationale Zahl dar)

Wenn also von einer Zahl bewiesen ist, dass sie irrational ist, dann weiß man automatisch auch, dass sie eine unendliche nicht-periodische Dezimaldarstellung hat. Das weiß man dann, ohne auch nur eine einzige Nachkommastelle berechnen zu müssen.

Man schließt also von der Irrationalität auf die Nachkommastellen. Kein Mensch zählt Ziffern.

Vor ca 250 Jahre hat der Mathematiker Lambert bewiesen, dass Pi irrational (also nicht als gewöhnlicher Bruch darstellbar) ist, daher weiß man, dass Pi sich im Dezimalsystem mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen schreibt.

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unendlich, ein computer hat pi mal bis auf die aber millionste stelle ausgerechnet und es ging immernoch weiter..

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Kommentar von Elsenzahn
04.12.2012, 07:42

unendlich,

ja, aber das folgt nicht aus berechneten Nachkommstellen. Denn berechnete Nachkommstellen sind immer nur endlich viele. Auch Triliarden Fantastillionen Nachkommastellen wären eben endlich viele, und daher zuwenig, um zu wissen, ob die betreffende Zahl unendlich viele Nachkommastellen hätte oder nicht.

Man beweist die Irrationalität und schließt auf die Nachkommastellen, anders geht es nicht.

is auf die aber millionste stelle ausgerechnet und

Inzwischen sind es wohl 10 Billionen. Aber das hat mit der Beantwortung der Frage nichts zu tun, wie gesagt.

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