Wie viele rationale Zahlen gibt es zwischen 0 und 1.000, die in der Dezimaldarstellung dieselben Ziffern enthalten wie in der Bruchdarstellung?

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3 Antworten

Die Antwort auf diese Frage hat mich auch "etwas" interessiert; und zwar so, dass ich mich aus Neugier am Wochenende nochmal ans "Programmieren" gesetzt habe (wollte aufgrund einer anderen Frage mal in Python reinschnuppern).

Wenn die Dezimaldarstellung entsprechend der Länge des Zählers gerundet werden darf, gibt es zwischen 1 und 1.000.000.000 nur folgende Lösungen (wenn ich keinen Denkfehler in meiner Programmierung/Überlegung habe; es muss ja nur die Wurzel des Zählers (=Laufvariable) auf Gültigkeit geprüft werden...):

5 : 2 = 2,5
89 : 9 = 9,89  (9,888...)
294 : 17 = 17,294  (17,2941...)
368 : 19 = 19,368  (19,3684...)
9.899 : 99 = 99,9899  (99,989898...)
998.999 : 999
3.112.245 : 1.764
60.005.164 : 7.746
99.989.999 : 9.999
388.925.511 : 19.721

Mit den "9-ern" im Nenner bekommt man ein Muster.
9.999.899.999 : 99.999 passt auch (mit Taschenrechner separat getestet)
nächste wäre dann 999.998.999.999 : 999.999 usw.

Ohne zu runden, scheint es demnach nur den Bruch 5:2 zu geben.

(bis 100.000.000 kam mir die Ausgabe/Rechnerei recht zügig vor; bei einer Null mehr wurds jedoch elend lang; hätte nen Schrittzähler einbauen sollen, hab aber noch k. A. wie ich die Ausgabe immer wieder in derselben Zeile überschreibe; wenns überhaupt geht)

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Ich habe das mal für den Fall mit einer Nachkommastelle durchgerechnet:

x / y = y + x/10

Das führt mich auf die Gleichung x = (-10y²) / (y-10)

Und die hat, wie man schnell nachprüfen kann, nur die Lösung y = 5 und x = 2.

Wie man den allgemeinen Fall (also mit viieelen Nachkommastellen) prüft: ? ?

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Ich glaube, da gibt es relativ wenige! Geh einfach mal von kleinen zu großen Brüchen durch und erkenne den Anteil.

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Kommentar von Willibergi
08.09.2016, 14:57

Dass es relativ wenige geben soll, ist mir durchaus bekannt.

Geh einfach mal von kleinen zu großen Brüchen durch und erkenne den Anteil.

Das halte ich für eher unklug.

0/1 wäre ein trivialer Kandidat, genauso wie 5/2. Aber überdies grenzt das an Ausprobieren und da werde ich im Leben nicht fertig (unabhängig davon, wie viele Zahlen ich gefunden habe).

LG Willibergi

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