Wie viele Primzahlen, abhängig von der Anzahl aller natürlichen Zahlen, gibt es?

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7 Antworten

Das kannst du so nicht sagen. Du hast unendlich viele natürliche Zahlen, und unendlich viele Primzahlen. Wenn du das in ein Verhältnis schreiben würdest, hättest du unendlich/unendlich, und das ist nicht definiert.

die natürlichen zahlen sind "abzählbar unendlich" viele. ebenso die primzahlen.

deine frage kann nur gestellt werden, wenn du es folgendermaßen machst:

sei x die x-te natürliche zahl (also endlich). dann lautet die frage: wie viele primzahlen gab es bis dahin? die zahl der primzahlen bis höchstens x nenn ich nun mal f(x).

dann hast du eine funktion, die x auf f(x) abbildet.

wie diese aussieht kann dir vmtl. niemand verraten, aber man kann zeigen, dass es sich für große x wie x/ln(x) verhält.

http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz#Die_Primzahlfunktion

Lasse ich nun x gegen unendlich streben und teile es durch f(x), dann wird das Verhältnis immer größer, je unendlicher ich gehe? Also strebt das Verhältnis auch gegen unendlich, aber natürlich mit jeder Zahl langsamer als x.

Nehmen wir an: x strebt gegen unendlich -> f(x) strebt im immer größeren Abstand zu x gegen unendlich -> Verhältnis strebt im immer größeren Abstand zu f(x) gegen unendlich Stimmt das so?

Ist das hier die Funktion? http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/beller/Seminar/HTML/pz5.htm

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@Ghostie

ich versteh nicht was du mit denem 2ten absatz meinst, aber der link ist jedenfalls richtig. da wird es gut veranschaulicht

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Man kann die Primzahlen auflisten

  • p[0]=2,
  • p[n]:=Min{p∈P : p > p[k] für k<n}

Die Abbildung n∈P |—> p[n]∈P ist offensichtlich eine Bijektion. Deshalb sind als Mengen die Menge der Primzahlen und die der natürlichen Zahlen gleich groß. Es gilt #P = # N = alef₀. (Alef ist der hebräische Buchstabe א und bezeichnet das „erste“ Unendliche.)

Aber das ist zu tolpatschig. Die Menge der Primzahlen sieht doch dünner aus als die natürlichen Zahlen. Die Dichte der Primzahlen ist 0 — d.h. Lim #{p∈P : p < n} / n = 0, während Lim #{p∈N : p < n} / n = 1 (offensichtlich).

es gibt unendlich viele primzahlen -> satz von euklid

es werden mit hilfe von computern immer größere primzahlen berechnet, die meist die form 2^n-1 haben und diese werden mersenne-primzahlen genannt. die derzeit größte gefundene (und bewiesene) primzahl ist: 2^(57.885.161)−1 gefunden 2013.

solche primzahltests werden auch für asymmetrischen verschlüsselungsverfahren in der kryptographie verwendet

http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl

... /wiki/SatzvonEuklid

Das kann man nicht sagen. wenn du jetzt sagen würde, x ist 234567932674398 dann könnte man es dir sagen. aber es gibt für dein x nicht einmal ein Näherungswert

es gibt unendlich viele zahlen und es gibt unendlich viele Primzahlen

zu dem thema würde ich den youtube kanal Numberphile empfehlen, die haben unter anderem viele interessante videos über primzahlen

Hier mal die Primzahlen Playlist: http://www.youtube.com/playlist?list=PL0D0BD149128BB06F

Durch die Videos von Numberphile bin ich auf die Frage gekommen.

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Die Anzahl an Primzahlen ist unendlich, dass haben die Mathematiker Euklid und Euler bewiesen, jedoch werden die Primzahlen mit wachsendem N immer seltener. Ihre Verteilung ist recht unregelmäßig.

Quelle --> dtv-Atlas zur Mathematik Band 1

In dem Buch steht auch noch eine Formel -->

limes mit x geht gegen unendlich prim(x) / ( x / ln(x) ) strebt gegen 1

Die Funktion prim(x) gibt dabei die Anzahl der Primzahlen <= x an.

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