Wie viel Stück und zu welchem Stückverkaufspreis muss das Unternehmen verkaufen, um seinen Gewinn zu maximieren?

2 Antworten

Leider schreibst Du die Funktionen nicht dazu. Also hier das allgemeine Vorgehen:

Die Preisabsatzfunktion gibt den Preis in Abhängigkeit von der Menge an; das dürfte in etwa so aussehen: p(x) = m·x - b.
Den Erlös/Umsatz bekommst Du, wenn Du die Menge mit dem Preis multiplizierst: E(x) = x · p(x)

Die Kosten kennst Du. Also ermittelst Du den Gewinn, indem Du vom Erlös die Kosten abziehst: G(x) = E(x) - K(x)

Zu dieser Funktion ist nun das Maximum gesucht. Das bestimmst Du mit den Mitteln der Analysis: Ableitung bilden, die Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen. Diese Werte setzt Du in die zweite Ableitung ein. Der x-Wert, an dem die 2. Ableitung negativ wird, ist die gesuchte Menge. In G einsetzen, ergibt den maximalen Gewinn.

Okay?

p(x)=400-0,2x, E(x)=400x-0,2xQuadrat, K(x)=30000+200x ich bekomme unter der Wurzel immer - und das kann man doch nicht ausrechnen?

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@kelliunes

G(x) = -0,2x² + 200x - 30000 ist eine quadratische Funktion, deren Hochpunkt Du suchst. Ableitungen hattet Ihr noch nicht? Dann G in die Scheitelpunktform umformen. Da kannst Du sowohl das gesuchte x als auch den maximalen Gewinn ablesen.

Bei mir kommt x = 500 und Gmax = 20000 heraus.

Wolltest Du die Nullstellen von G bestimmen? (Das Maximum muss genau zwischen den Nullstellen liegen.) Da muss auf jeden Fall ein Fehler passiert sein.

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@KDWalther
  • Wenn ich die Formel ableite und auf x umstelle, bekomme ich für x=1000-Wurzel aus 150000. Kein plan was falsch ist.... Stelle mich irgendwie dumm an
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@kelliunes

Was verstehst Du unter "ableiten"? Ich verstehe darunter: Es entsteht eine neue Funktion, die mir die Steigung der Originalfunktion angibt. In diesem Fall:
G'(x) = -0,4x + 200
Und von dieser Funktion brauchst Du die Nullstelle(n).

Wie gesagt: falls Du die Ableitung einer Funktion (noch) nicht kennst, kannst Du auch G(x) in die Scheitelpunktform überführen:

G(x) = -0,2x² + 200x - 30000 = -0,2 · [x² - 1000x] - 30000
= -0,2 · [x² - 1000x + 500² - 500²] - 30000 = -0,2 · [(x - 500)² - 500²] - 30000
= -0,2 · [(x - 500)² - 250000] - 30000 = -0,2 · (x - 500)² + 50000 - 30000
= -0,2 · (x - 500)² + 20000

Somit lautet der Scheitelpunkt von G: S(500|20000).

Da der Graph von G eine nach unten geöffnete quadratische Parabel ist, ist S der höchste Punkt. Also wird G bei einer Menge von 500 Stück maximal.

Nun noch den Preis bestimmen..

Übrigens: Der Punkt C(500|p(500)) heißt "Cournotscher Punkt".

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  1. also du hast folgende Kosten in Abhängigkeit der Stückzahl x: K(x)=F+V·x
  2. und folgende Preis-Absatz-funktion (p ist der Preis; A(p) ist die Stückzahl, die man verkauft kriegt): A(p)=m·p+b
  3. also: wo wird das da maximal? K(A(p))=F+V·A(p)=F+V·(m·p+b)
  4. einfach Zahlen einsetzen und dann nach p ableiten...
  5. da wo die Ableitung 0 ist, ist ein Extremum...
  6. oda?
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Aber es wird doch nach der Stückzahl und dem Preis gesucht? Dann ist ja auf beiden Seiten der Gleichung eine unbekannte?

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@kelliunes

durch die Preis-Absatz-Funktion werden beide Größen in Beziehung gesetzt...

du hast also 2 Unbekannte und 2 Gleichungen... das müsste klappen... nur Mut... :)

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