Wie viel Masse muss ein rundes Objekt haben, damit ein Mensch darauf stehen kann?!

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9 Antworten

Ob der Planet des Kleinen Prinzen, wie er auf dem Buch von Antoine de Saint-Exupéry abgebildet ist – Radius unter 2 Meter – dafür ausreicht? Rechnen wir nach.

http://2.bp.blogspot.com/-0Srp0ob2qlk/Tl5CzQlzL9I/AAAAAAAAArs/dJCEmAOmmbE/s1600/Saint-Exup%25C3%25A9ry_Der+kleine+Prinz.jpg

(1)

Mit welcher Energie kann ein Mensch springen?

Nehmen wir den Weltmeister im Hochsprung, Javier Sotomayor. Er wiegt m = 82 kg und hält den Weltrekord mit h = 2,45 m. Die potentielle Energie im Scheitelpunkt des Sprunges ist m * g * h = an die 2000 Joule.

(2)

Welche Masse mob hat das zu berechnende Objekt in Relation zu seinem Radius rob?

Gehen wir von der durchschnittlichen Dichte unserer Erde aus, sie beträgt rho = 5,515e3 kg/m^3.

mob = rho * 4/3 * pi * rob^3 = rund 23000 * kg * (rob / m)^3

(3)

Wie groß ist die Fluchtenergie eflu, die ein Körper der Masse m1 zum Verlassen des Gravitationsfeldes dieses Objektes benötigt?

eflu = G * mob *m1 / rob = 1.26e+7 * kg * rob^2) / s^2

(4)

Setzen wir in diese Gleichung für m1 die Masse unseres Hochsprung-Weltrekordhalters und für eflu die oben errechnete Energie seines Rekordsprunges ein, dann können wir nach rob auflösen und erhalten in etwa:

rob = 4000 m

Der Planet des Kleinen Prinzen ist also um drei Größenordnungen zu klein und um neun Größenordnungen zu leicht, um darauf sicher wohnen zu können.


Hierfür nützliche Wikipedia-Artikel:

  • Erde
  • Javier Sotomayor
  • Schwerebeschleunigung (Abschnitt: Allgemeine Berechnung)
  • Kosmische Geschwindigkeiten (Abschnitt: Zweite kosmische Geschwindigkeit)
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Kommentar von Iamiam
05.02.2014, 23:36

einzige nachvollziebare/nachrechenbare Antwort (was nicht heißt, dass ich sie nachgerechnet hätte!), aber Denkansatz und Rechenansätze sind ok!
DH!

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Kommentar von stekum
06.02.2014, 15:06

Sehr gute Antwort. Habe ich garnicht realisiert, als ich meine Antwort geschrieben habe. Sorry !

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Das hängt davon ab, wie sehr der Mensch herumzappelt, das kann man nicht verallgemeinern. Die Schwerkraft eines Sandkorns reicht, wenn Du Dich nicht bewegst.

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Also bei Schwerkraft gehts immer um gegenseitige Anziehung. Die Erde zieht uns an aber auch wir die Erde. Da aber das Massenverhältnis so extrem ist, merken wir davon nichts und "denken" dass nur die Erde uns anzieht.

Das vorweg und damit zu deiner Frage:

Der erste Teil ist nicht zu beantworten. Denn genau betrachtet kommt es in diesem Gedankenexperiment auf die Relativgeschwindigkeiten der Körper zueinander an. Sobald die Relativgeschwindigkeit (also die Geschwindigkeit mit der ich mich relativ zu dem anderen Körper bzw. er sich zu mir bewege) größer wird als die Fluchtgeschwindigkeit bewegen sich die Körper unwiederbringlich auseinander. (Dinge wie Kegelschnitttrajektorien wollen wir jetzt mal zur Seite lassen).

Mit anderen Worten: auch wenn sich jemand im freien Raum genügend langsam einem Sandkorn (10 Milligramm) nähert, so werden sich Sandkorn und Schuhsohle gegenseitig anziehen und aneinander haften. Dein Astronaut "steht" dann sozusagen auf diesem Sandkorn.

Für den zweiten Teil deiner Frage kommt es darauf an wie schwer Himmelskörper und Astronaut sind aber natürlich auch wie hoch bzw wie heftig der Astronaut springen kann. Wiil er den Himmelskörper verlassen muss er ja genaugenommen unendlich hoch springen können. Berechnen kann man das so, dass man die Energie hernimmt mit der die Schwerkraft die beiden Körper aneinander bindet - das ergibts sich aus der Formel für die Gravitationskraft Die Energie ist dabei dann GM1M2/r mit G=Gravitationskonstante, M=die beiden Massen und r=Abstand der Massenschwerpunkte.

Wenn nun die kinetische Energie 1/2 * M1* v² die der Astronaut beim abspringen drauf hat größer oder gleich der Gravitationsbindungsenergie ist, dann kann der Astronaut den Himmelskörper verlassen.

War jetzt etwas ausschweifend, aber ich hoffe verständlich.

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Kommentar von icekeuter
06.02.2014, 23:56

Tolle Antwort! :)

Allerdings hättest du auch einfach unseren Mond als beispiel nehmen können ;)

Wenn man dort zu "heftig" abspringt landet man auf dem Mond nicht mehr ;) Klar kommt es jetzt wieder auf die oben gennanten Faktoren an.

Aber im allgemeinen kann man sagen: So viel Masse wie unser Mond besitzt. Also eine Masse von ca. 7,349 · 1022 kg wird benötigt.

MfG. icekeuter

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falls du im Weltraum wärest sprich schweerelos würde eine kleine Kugel reichen. Dann würde die kugel aber nicht dich anziehen aber du die kugel

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Kommentar von BubbleJoe
05.02.2014, 21:51

Beide Körper ziehen sich an.

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Für jeden Himmelskörper gibt es eine „Fluchtgeschwindigkeit“ v. Wenn Du mit dieser Geschwindigkeit startest, kannst Du sein Schwerefeld auf Nimmerwiedersehen verlassen. Für die Erde sind das 11,2 km/s = 40 320 km/h. Für den Jupiter fast 60 km/s, Mars ca. 5km/s, Mond ca. 2,4 km/s, Pluto 1,1 km/s. Für Ceres, den größten Asteroiden (jetzt Zwergplanet) mit ca. 900 km ∅ ist v = 510 m/s, eine Gewehrkugel könnte ihn verlassen. Angenommen Du kannst (hier) 1 m hoch springen. Dann hast Du eine Absprunggeschwindigkeit von 4,4 m/s. Damit könntest Du einem Asteroiden von ca. 7 km ∅ (Dichte 3 g/cm³) entkommen.

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Nimm mal unseren ollen Mond, der eine Fluchtgeschwindigkeit von 2340 m/s hat, und schrumpfe seinen Durchmesser 3476 auf 500 km (seine Masse ebenfalls). In Originalgröße ist die Fallbeschleunigung ungefähr 1/6 der der Erde, bei knapp 1/50 stehste zwar noch auf dem Mini-Mond, aber das Weghüpfen dürfte keine große Hürde sein! ;oP

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Und noch eine Frage: Wenn der Durchmesser unseres Mondes nur noch sagen wir mal 1/10 seines tatsächlichen Durchmessers betrüge, würde die Masse immer noch ausreichen, um einen Menschen an der Oberfläche zu halten?!

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Kommentar von Quandt
05.02.2014, 22:58

kuckst du unten?!? ;o)

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Kommentar von stekum
06.02.2014, 15:04

siehe meine Antwort

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Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft \\\\vec F_{m1}, mit der ein Massenpunkt m_1 von einem anderen Massepunkt m_2 angezogen wird, proportional zu den beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes r verhält. Anders als die Coulombkraft wirkt die Gravitation stets anziehend. Auf den Massepunkt m_1 wirkt die Kraft: \\\\vec F_{m1} = G \\\\, \\\\frac{m_1 m_2}{r^2} \\\\, \\\\vec e_{r}, wobei \\\\ G die Gravitationskonstante ist. Ihr Wert kann zum Beispiel mit einer Gravitationswaage ermittelt werden. Der Einheitsvektor \\\\vec e_{r} gibt die Richtung der Gravitationskraft an. Er zeigt in Richtung des anderen Massenpunktes. In Übereinstimmung mit dem dritten newtonschen Gesetz wirkt auf den Massepunkt m_2 die gleiche, aber in der Richtung entgegengesetzte Kraft wie auf den Massepunkt m_1: \\\\vec F_{m2} = - \\\\vec F_{m1}

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Kommentar von MayaPapaya89
05.02.2014, 21:39

Altaaa, bissu Genasiun?!

Nein, mal Spaß beiseite... ich habe Physik nach der 10. Klasse abgewählt, demnach hättest du diesen Text auch auf Klingonisch schreiben können, ich hätte trotzdem genau so viel verstanden wie jetzt ;)

Bitte nochmal für Laien.. ;)

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Kommentar von gonzo338
05.02.2014, 22:01

Altaaa, bissu Wikipedia?

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diese frage ist insofern nicht beantwort bar, dass jedes noch so x beliebig kleine objekt reichen würde wenn der mensch ein rollstuhfahrer ist der nicth springen kann, aber man ein deutlich größeres objekt bräuchte für einen athleten.

gruß

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