Wie untersucht man genau die Differenzierbarkeit von Funktionen?

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3 Antworten

Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar wenn der Differentialkoeffizient berechnet werden kann.

Wenn also der Grenzwert:

lim h->0 : (f(x+h)-f(x))/h existiert.

Das ganze läuft also auf die Bestimmung des Grenzwertes hinaus, dieser existiert zB nur wenn lim h->0+ = lim h->0- gilt, damit steht schon mal fest die Funktion muss im Untersuchten Gebiet stetig sein.

Zusätzlich muss die Funktion auch gegen den Grenzwert konvergieren, darf also als solche nicht immer Konstant um den Grenzwert herumspringen, ohne sich dem zu nähern, etc.

Allgemein geht es zB mit dem Epsilon Delta Kriterium, ähnlich dem zum bestimmen der Stetigkeit einer Funktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert\_(Funktion)#Argument_endlich.2C_Grenzwert_endlich

Weil die Differenzierbarkeit im Allgemeinen aber eine stärkere Eigenschaft als die Stetigkeit gilt jede Differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist auch differenzierbar.

Beispiel: https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve

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Eine Vorraussetzung dafür, dass eine Funktion f mit:

f: I --> IR

differenzierbar ist, ist die Stetigkeit von f auf dem Intervall I. Das bedeutet, dass die Funktion f für alle Folgen xn mit Grenzwert x gegen den gleichen Wert konvergiert:

--> lim(n->inf){ f(xn) } = f(lim(n->inf){ xn }) = f(x)

Dies ist notwendige Vorraussetzung für den Differentialquotienten, bemerke, dass wir dort einen Grenzwert für die Funktion f mit dem Grenzwertverhalten des Argumentes von f verknüpfen.

Als nächstes betrachte den Differentialquotienten, welcher nach Definition wie folgt aussieht:

lim(h->0){ (f(x+h) - f(x))/h } = f´(x)

Nehmen wir nun an, dass f stetig sei. So existiert die Ableitung f´(x) an der Stelle x nur, sofern der Grenzwert des Differentialquotienten für diesen existiert und eindeutig ist. (Ohne Eindeutigkeit sprechen wir gegebenfalls von einer einseitigen Ableitung)

Bsp: f(x) = |x|

So folgt für f´(x):

f´(x) = 1  auf  I = (0, inf)

f´(x) = -1 auf I = (-inf, 0)

Die Ableitung bei x = 0 ist dabei nicht eindeutig definiert !!! Jedoch sind die einseitigen Ableitungen an der Stelle definiert:

(linksseitig) f´(0) = -1

(rechtsseitig) f´(0) = 1

Dies bedeutet also:

f ist differenzierbar   ===>  f ist stetig

und

f ist differenzierbar <==> der Differentialquotient existiert (und ist eindeutig)

1.) Prüfe ob die gegebene Funktion auf ihrem Definitionsbereich stetig ist

2.) Prüfe ob der Differentialquotient existiert (und eindeutig ist)

[Für 2.), bilde die Ableitung von der Funktion nach gegeben Ableitungsregeln, suche anschließend nach Definitionslücken auf dem gegebenen Intervall für die Funktion]

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