Wie soll ich dies Matheaufgabe beweisen?

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3 Antworten

Etwas besser für die Beschreibung ist, wenn ich die Winkel bei A, B und C traditionell als α, β und γ bezeichne. Dabei soll dann γ = 3α sein. So ein Dreieck ist ja leicht konstruierbar.

Jetzt lege ich eine Verbindung von C zur Strecke AB hinüber, wobei ich vom Winkel γ links einen Teilwinkel mit Größe von α abtrenne. Der Fußpunkt F hat dann nach links den Winkel CFA = 180° - 2α. Da zwei Winkel im linken Teildreieck gleich sind (ein α links, ein α oben), muss es ein gleichschenkliges sein.
Auf der anderen Seite von F ist der Winkel 180° - (180° - 2α) = 2α. Da aber bei C durch die Abtrennung von α genau 2α übriggeblieben sind, hat auch das rechte Teildreieck zwei gleiche Winkel und ist damit ebenfalls ein gleichschenkliges Dreieck.

Volens 20.08.2015, 23:07

Dieses Problem wurde schon mal gefragt. Ich hatte damals die Lösung für ein spezifisches Dreieck geschildert und damit nachgewiesen, dass es für mindestens ein Dreieck möglich sein müsse. Das ist zu Recht ein wenig angenörgelt worden. Diesmal ist es jedoch eine allgemein gültige Lösung.
Sie funktioniert natürlich auch, wenn γ = 3ß ist   -
natürlich zur anderen Seite hin.
Es kommt nur darauf an, dass ein Winkel überhaupt das Dreifache eines anderen ist.

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claushilbig 30.08.2015, 14:00
@Volens

Stimmt, jetzt ist es allgemein - und ich hab nix mehr zu meckern ;-)

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stekum 20.08.2015, 23:15

Da hätte ich mir meine Antwort mal wieder sparen können ⌤

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cathy123456789 21.08.2015, 08:58
@stekum

wenn ich das eichtig verstanden hab geht das also immer sobLd man dem winkel der 3 mal so groß ist wie der andeere teilt mit dem wintel der 3 mal so klein ist? 

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Volens 21.08.2015, 17:46
@cathy123456789

Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, meinst du das Richtige.

Du trennst von dem dreifachen Winkel den einfachen wieder ab und verbindest den Schenkel mit der gegenüberliegenden Seite.

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Es gilt also ɣ = 3α . Jetzt zeichnest Du CD mit D auf AB so, dass ∢ACD = α .

Dann ist ∆ADC gleichschenklig (weil α zweimal vorkommt). ∢CDA ist 180° - 2α

(∢summe in ∆ADC) und ∢BDC = 2α (weil ∢CDA + ∢BDC = 180°).

Weiter ist ∢DCB = ɣ - α = 3α - α = 2α.

Also kommt in ∆DBC der Winkel 2α zweimal vor → gleichschenklig.

Das ist Aufgabe 551012 der aktuellen Mathe-Olympiade. Die aufgaben soll man selbst lösen, nicht sich lösen lassen! Das gilt genauso für die andere Aufgabe, die du heute schon hier erfragt hast.

cathy123456789 21.08.2015, 08:42

ich möchte sie mir nicht zusammenmogelnich möchte sie verstehen

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