Wie sind die Seitenflächen des Hühnerstalls?

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5 Antworten

Hallo,

da eine Seite in Form der Mauer schon vorhanden ist, brauchst Du den Zaun nur noch für drei Seiten, von denen die beiden gegenüberliegenden gleich lang sein müssen (Rechteck).

Eine Formel (Nebenbedingung) lautet also:

2x+y=40

Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus dem Produkt zweier Seiten, die senkrecht aufeinanderstehen.

A=x*y (soll maximal werden).

Um einen der beiden Unbekanten loszuwerden, benutzt Du die erste Gleichung und löst sie nach y auf:

y=40-2x

40-2x setzt Du nun für y in die andere Gleichung ein:

x*(40-2x)=A(max)

40x-2x²=A(max)

Um den Extremwert herauszufinden, leitest Du diese Gleichung nach x ab und setzt sie auf Null:

40-4x=0

4x=40

x=10

Wenn es sich hierbei wirklich um ein Maximum handelt, muß die zweite Ableitung an der Stelle x=10 negativ sein:

Die zweite Ableitung lautet -4 und die ist überall negativ. Also liegt bei x=10 tatsächlich ein Maximum vor.

Der Zaun besteht also aus zwei Seiten von je 10 m Länge und einer von 20 m Länge.

Das macht 10 m*20 m=200 m² und damit die größte Fläche, die Du in Form eines Rechtecks erhalten kannst.

Rechnest Du dasselbe ohne Mauer, machst Du es im Prinzip genauso, nur daß die Nebenbedingung jetzt nicht 2x+y=40 lautet, sondern:

2x+2y=40 (das kannst Du durch 2 teilen)

x+y=20

y=20-x

In A=x*y einsetzen, nach x ableiten, auf Null setzen, zweite Ableitung prüfen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Was soll denn das Kritteln? Diese Aufgabe steht in so ziemlich jedem Mathebuch fast als erste Minimaxaufgabe. Sie ist der Standard für ein angewandtes Extremwertproblem.

Der FS hat frei zitiert und nicht den echten Aufgabentext verwendet.
Aber da weiß doch jedeR, was gemeint ist, der auch nur einmal ein paar Extremwerte ausgerechnet hat. Meist steht da etwas von der Länge der Maschendrahtrolle. (Die kauft man im Geschäft nach Metern und nicht nach Quadratmetern. So ist die Praxis eben.)

Und:
für halbkreisförmige Flächen benötigt niemand die Diffenrentialrechnung.

Hauptsache, man begreift, dass man auch A ableiten kann und nicht nur x.

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Diese Aufgabe ist mir schon öfter begegnet, Lösung wurde ja bereits genannt. Sie ist ein gutes Beispiel für eine unsaubere Aufgabenstellung.


Da steht nirgends, dass der Zaun ein Rechteck bilden muss, er könnte doch auch ein Dreieck oder Mehreck bilden oder gar einen Kreis ?

Ich bin allerdings zu faul auszurechnen, ob die Fläche dann noch grösser wäre.

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Kommentar von DonKing199
11.11.2016, 12:33

richtig, die Anzahl der Eckpfosten wäre zumindest mal ein guter Ansatzpunkt. Aber vielleicht ist die Aufgabe auch nur recht frei hier angegeben. Denn ein Lehrer würde hoffentlich nicht von einer "Seitenfläche" reden, wenn er eine Seitenlänge haben möchte :D

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Kommentar von Willy1729
11.11.2016, 12:34

So gesehen könnte man es auch mal mit einem Halbkreis versuchen. Das gäbe knapp 255 m², wäre also effektiver als ein Rechteck. (Entspricht aber garantiert wieder irgendeiner DIN-Norm nicht).

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DIe Hauptbedingung ist Größtmögliche Fläche. Also F(a,b)=a*b und davon brauchst du das maximum. Dann hat der Zaun drei Seiten und max 40m länge: also Nebenbedingung 2*a+b=40m

nun die nebenbedingung nach a oder b auflösen, dass dann in der Hauptbedingung einsetzen, dann hast du eine Funktion mit einer Variablen. Hier nun die Ableitung bilden, diese gleich 0 setzen und du hast dein Maximum :)

Rechnen und ableiten darfst du selbst ;) Kannst aber gerne zur Kontrolle nochmal hier rein schreiben.

Aufgabe 2 klappt analog, nur dass es nun eben in der Nebenbedingung 2a+2b=40 heissen muss.


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Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz. Von welchen Seitenflächen sprichst du? Meinst du die Seitenlängen des Rechteckes?

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Kommentar von Philipphenri
11.11.2016, 12:30

Ganz genau. Eine Seite ist eine Mauer. Die 3 anderen Seiten ein Zaundraht.

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