Wie sieht die Funktion eines Graphen mit Sattelpunkt aus?

5 Antworten

Dazu sehe man sich das hinreichende Kriterium an.

Ein Sattelpunkt von f(x) an einer Stelle x0 liegt vor, wenn gilt:

f'(x0)=0

f''(x0)=0

f'''(x0)≠0

Dazu muss die Funktion mindestens drei mal stetig differenzierbar sein. Grad 3 sollte bei ganzrationalen Polynomfunktionen also mindestens drin sein. Keine Funktion der Form ax²+bx+c hat einen Sattelpunkt, x³ aber bspw. schon.

Da es hier ja sowieso um Funktionskonstruktionen geht, bietet es sich an, den Grad so niedrig wie möglich zu halten, also als Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d zu wählen.

Die einfachste Parabel mit Sattelpunkt ist      f(x) = x³

Ein Sattelpunkt hat die notwendigen Bedingungen f '(x) = 0   sowie
                                                                        f'' (x) = 0

Bedeutung:
Die 1. Ableitung ist zuständig für eine waagrechte Tangente,
doch wegen der 2. Ableitung haben wir einen Wendepunkt, sodass die Tangente sich links über der Kurve und rechts von diesem Punkt unter der Kurve befindet. Und das sieht aus wie ein Sattel.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3

Ich nehme an, dass du in der abi-Stufe bist, denn ein Sattelpunkt ist ein Sonderfall eines Wendepunktes, welches man aus der 2. Und 3. Ableitung einer höhergradigen Funktion ab 3. Grades heraus bekommt. Beim Wendepunkt wechselt ja die Funktion die Richtung, was beim Sattelpunkt nicht der Fall ist. Ist eventuell vergleichbar, wenn eine Doppelnullstelle entsteht, ist auch ein Sonderfall.

Aber welche Funktion beschreibt allgemein Sattelpunkte?

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@Drocks2

Das kann man nicht immer an der Stammfunktion ablesen! Wie fjf100 beschreibt, erkennt man es erst an den Ableitungswerten!

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Beim Wendepunkt wechselt ja die Funktion die Richtung,

Was ist hier mit "Richtung" gemeint?

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@Wechselfreund

Hattet ihr noch keine Ableitungen? Der Richtungsverlauf links- rechtsdrehend ist gemeint!

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