Wie sehen Dezimalbrüche aus, die durch eine Division von natürlichen Zahlen entstehen?

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3 Antworten

Du fragst wahrscheinlich nach den nachkommastellen

Drei mögliche Fälle:

  1. Es geht auf, zB 20:4 = 5. Eine ganze zahle, keine Nachkommastellen.
  2. Endlich viele Nachkommastellen, zB 5:4=1,25
  3. Unendlich viele Nachkommastellen, die aber ab irgendeiner Stelle periodisch sind. zB 5:6=0,833333... oder 17:99=0,171717171717171717....

"Kurze Theorie des Dezimalbruchs", wenn das wohl die Aufgabenstellung ist:


A. Genau dann, wenn der Nenner eines Bruchs A auschließlich die Faktoren 2 und 5 enthält, ist er so erweiterbar, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist, und kann als Dezimalbruch mit endlich vielen Stellen geschrieben werden. Beispiel:

1 / 8 = 125 / 1000 = 0,125

1 / 125 = 8 / 1000 = 0,008


B. Genau dann, wenn der Nenner eines Bruchs B ausschließlich andere Faktoren als 2 und 5 enthält, besteht der Dezimalbruch aus unendlich vielen Stellen, die in einer bestimmten Reihenfolge wiederkehren ( = einer Periode) . Beispiel:

1/7 = 0,142857 142857 142857 142857 ... (6stellige Periode)

1/3 = 0,3333333 .... (1stellige Periode)

Ein periodischer Dezimalbruch ist eine unendliche geometrische Reihe, z.B.

5 / 11 =

0,45 45 45 45 45 45 45.. =

45 / 100 + 45 / 100² + 45 / (100^4) + ... =

∑ 45 / (10²)^j , wobei j = 1,..., ∞

Beweis , dass ein periodischer Dezimalbruch einen Bruch B darstellt:

Zeigen lässt sich (nicht schwer, erfordert aber etwas Theorie der Restklassenringe, kann ich bei Bedarf "nachliefern"), dass B sich immer zu einem Bruch der Form

B' = a / (10^k -1)

erweitern lässt (der Nenner ist eine Zahl mit lauter Ziffern 9; Beispiel:

1/ 7 = 142857 / 999999 ).

Wenn nun der Zähler a von B' die k-stellige Periode a eines periodischen Dezimalbruchs ist, dann hat dieser als unendliche Summe den Wert (j = 1,..., ∞) :

∑ a / (10^k)^j =

a ∑ 1 / (10^k)^j =

a (-1 + ∑ 1 / (10^k)^j) ) = [ j = 0,..., ∞]

a (-1 + ∑ 10^(-k)^ j ) =

mit | 10^(-k) | < 1 ergibt die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe:

a (-1 + [ 1 / (1 - 10^(-k) ) ] ) =

auf einen Nenner:

a (-1 + 10^(-k) +1 ) / (1 - 10^(-k) ) =

a ( 10^(-k) / (1 - 10^(-k) ) ) =

mit 10^k erweitern, zusammenfassen:

a / (10^k -1) = B' = B,

womit klar ist: Die Periode eines periodischen Dezimalbruchs ist "eigentlich" Zähler der Erweiterung B' des Bruchs B = B', der (wiederum) dem periodischen Dezimalbruch gleich ist.


C. Genau dann, wenn der Nenner eine Bruchs C die Faktoren 2 oder 5 und andere enthält, kommen nach dem Komma erst endlich viele nicht periodische Stellen und dann eine Periode. Beispiele:

3 / 75 = 0, 01333333333 (1stellige Periode), denn 75 = 3 * 5 * 5

1 / 175 = 0,00 571428 571428 (6stellige Periode), denn 175 = 7 * 5 * 5

Beweis: Die Zahl b enthalte keinen der Faktoren 2 und 5; dann hat C die Form:

a / (b * 2^p * 5^q) =

erweitern:

( 2^q * 5^p * a / b ) * 1 / 10^(p+q) =

Division (durch b) mit Rest ergibt 2^q * 5^p * a = n * b + r

(n * b + r) / b * 1 / 10^(p+q) =

n / 10^(p+q) + (r / b ) / 10^(p+q); dabei ist

der Summand n / 10^(p+q) ein Bruch A mit p+q Stellen hinter dem Komma, und

der Summand (r / b ) / 10^(p+q) bis auf eine Verschiebung um p+q Stellen hinter das Komma ein Bruch B.

Diese Darstellung von C als Summe begründet die Zusammensetzung des Dezimalbruchs C aus einem p+q-stelligen nicht periodischen einem dahinter folgenden periodischen Teil.

Vielen Dank! Da hast du dir wohl sehr Mühe gegeben! Auch wenn es mir fast ein wenig leid tut, werde ich notitzhelge als beste Antwort auswählen, die Seine es mit relativ wenig auf den Punkt bringt. TROTZDEM VIELEN DANK!

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@JayPtoya

Keine Ursache..

Mich interessierte - vor einigen Jahren - selber mal, wie diese komischen Perioden überhaupt zustande kommen, was die nun eigentlich bedeuten, und warum es manchmal eine gibt, und manchmal nicht, warum sie manchmal gleich hinter dem Komma anfangen, und manchmal nicht.

Zwar musst ich ein ein wenig in meinem Schädel baggern, bis ich wieder fündig wurde. Aber soo schwer ist das dann doch nicht....

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Bsp: 1/2 = 0,5

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