Wie schnell sind Elektronen eines Elektronenstrahls?

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3 Antworten

Ne, das ist richtig gerechnet und auch durchaus plausibel ;-)

Hier ist es noch nicht der Fall, aber du musst etwas aufpassen: Falls die kinetische Energie so groß wird, dass die Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit ist, musst du anfangen, relativistisch zu rechnen.

Roach5 13.08.2016, 19:39

4.000.000 m/s ist schon nicht-vernachlässigbar nah an der Lichtgeschwindigkeit dran, da sollte man lieber schon direkt anfangen, relativistisch zu rechnen.

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Astroknoedel2 13.08.2016, 20:39
@Roach5

Was heißt denn hier nicht vernachlässigbar ? Natürlich ist es vernachlässigbar. Die Relation zu 300.000.000 m/s ist hier noch sehr klein. Da bekommst du keine Abweichungen, wenn du klassisch rechnest.

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SlowPhil 13.08.2016, 21:32
@Astroknoedel2

Natürlich ist es vernachlässigbar.

Immerhin 1,333…%. Der Lorentz-Faktor γ ist da noch dicht an 1. Die Relativität der Gleichzeitigkeit ist da allerdings schon eher ein Thema, die geht mit der 1. Potenz von v/c.

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lks72 13.08.2016, 20:31

√(1-(4/300)^2) = 0.9999, der Fehler zur Newtonmechanik ist also zu vernachlässigen.

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Du kannst nicht newtonsch rechnen, da das Elektron wahrscheinlich viel zu schnell ist, und die Masse sich sehr stark von der Ruhemasse unterscheidet. Wikipedia hat zufälligerweise eine Herleitung zur Lösung genau dieses Problems parat: https://de.wikipedia.org/wiki/Kinetische_Energie#Kinetische_Energie_in_der_relativistischen_Mechanik, direkt das erste "Anwendungsbeispiel".

LG

SlowPhil 14.08.2016, 11:49

Doch, er kann Newton'sch rechnen, weil er die Elektronen mit gerade mal 54V beschleunigt, nicht etwa mit 54kV.

In dem Fall wäre die kinetische Energie mehr als 10% der Ruheenergie, und da lassen sich (Eₖ/E₀)² = ϵ² - Terme nicht mehr vernachlässigen, ohne einen nennenswerten Fehler zu machen. So wird die Geschwindigkeit geringer ausfallen als Newton'sch gerechnet.

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Roach5 15.08.2016, 18:38

Ja, genau das meine ich doch. Wenn du "informatisch" denkst und die double-Definition verwendest: "Vernachlässigbar ist alles ab der 15. Nachkommastelle", dann rechnet man lieber relativistisch. Hier ein Extrembeispiel, aber man sollte de Fragesteller überlassen, ob er präzise rechnen will oder ob ihm klassische Physik genügt.

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Du kannst es natürlich eV in J umrechnen und mit der klassischen Formel

(1) Eₖ = ½mv²    ⇔    v = √{2Eₖ/m}

die Geschwindigkeit ausrechnen und Dich über die doch schon ziemliche Geschwindigkeit bei den paar Volt wundern.

Eine Möglichkeit.

Eine andere ist es, mit dem Wissen, dass

(2) E₀ = mc² = 511keV

und damit

(3) Eₖ/E₀ =: ϵ = 5,4×10¹/5,11×10⁵ ≈ 1,06×10⁻⁴

zu erhalten. Der Lorentz-Faktor

(4.1) γ = 1/√{1 – β²}    mit    β = v/c

ist aber zugleich

(4.2) γ = 1 + ϵ.

Dank der Kleinheit von ϵ lässt sich die doppelte Näherung

(5) γ ≈ 1 + ½β²

anwenden, und das ist ja Newtonsche Näherung und ergibt

(6) ½β² = ϵ    ⇔    β = √{2ϵ}, ≈ 1,45×10⁻²c ≈ 4,36×10⁶m/c.

Ohne Näherung erhält man durch Umstellen und Wurzelziehen

(7) β = √{2ϵ + ϵ²}/(1 – ϵ),

aber der Unterschied beläuft sich in absoluten Zahlen gerade mal auf popelige 576m/s. In jedem Fall erübrigt sich das Hin- und Herrechnen zwischen eV und J.

Bernte 14.08.2016, 09:57

Kleiner Einheitenfehler in (6):

beta = 1,45 %

v = beta c = 4,36x10^6 m/s 

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SlowPhil 14.08.2016, 11:22
@Bernte

Stimmt, ein c ist eines zu viel. β (schreib »β«, kopiere es und füge den Inhalt ein) ist natürlich dimensionslos.

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Bernte 14.08.2016, 11:25
@SlowPhil

Ah, danke für den Tipp. Probier ich das nächste Mal aus!

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SlowPhil 14.08.2016, 11:39
@Bernte

Eine Warnung bin ich Dir aber doch schuldig, um Enttäuschungen zu vermeiden:

Leider - ich weiß nicht, warum - ist es Browser-abhängig, ob das Einfügen von Inhalten so funktioniert. Auf dem Netbook unter Chromium, aber auch unter Googel Chrome auf einem PC, funktioniert es ohne Umweg.

Unter Firefox, aber auch - selbst unter Google Chrome - auf meinem Smartphone funzt es nicht. Hier muss ich eine Text- bzw. HTML-Datei als Umweg anlegen und die Ausdrücke wieder in das Eingabefenster einfügen, dann erscheinen die Zeichen so, wie sie sollen.

Die GF-App wandelt Zeichen um, verzeiht dabei aber keine Schreibfehler und hat den Bug, getaggte Zeichen in eine eigene Zeile zu setzen, weshalb ich das Taggen vermeide - außer, ich will einen neuen Absatz, dann setze ich »<br>« an das Ende von einer.

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SlowPhil 14.08.2016, 13:14
@Bernte

Den eigentlich schwerwiegenden Fehler habe ich an anderer Stelle gemacht, s.u.. Verrückt, dass mir das erst aufgefallen ist, als ich die Geschwindigkeiten verglichen habe.

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SlowPhil 14.08.2016, 12:43

Gleichung (7) ist bollocks, da habe ich einen empfindlichen Vorzeichenfehler gemacht. Es muss - natürlich

β = √{2ϵ + ϵ²}/(1 + ϵ)

heißen, damit

ϵ → ∞    ⇔    β → 1

Denn: (4.1) und (4.2):

     1 + ϵ = 1/√{1 – β²}

⇔ 1/(1 + ϵ)² = 1 – β²

⇔ β² = 1 – 1/(1 + ϵ)² = {(1 + ϵ)² – 1}/(1 + ϵ)² = (2ϵ + ϵ²)/(1 + ϵ)²

⇔ β = √{2ϵ + ϵ²}/(1 + ϵ)        q.e.d.

Schließlich muss die Geschwindigkeit, die tatsächlich herauskommt, kleiner sein als beim Newton'schen Rechnen.

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