Wie rechnet man schriftlich die Basis aus?

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7 Antworten

Du kannst so etwas nicht im Kopf rechnen. Du kannst dich einer solchen Zahl höchstens annähern, wenn die Zahlen passend sind. Das ist bei Quadratwurzeln schon schwer. Immerhin gibt es ein Verfahren so ähnlich wie Polynomdivision auf der Basis der Binomischen Regeln.
Bei 5. Wurzeln ist es nahezu unmöglich.

Es gibt aber ein Gesetz:
die 5. Potenz endet immer auf dieselbe Ziffer wie die Basis. 

2⁵ = 32
3⁵ = 243
4⁵ = 1024

Das prägen manche Leute sich ein. Dann brauchst man sich nicht zu wundern, wenn jemand jetzt sagt, dass   ⁵√250   eben über 3 sein müsste.

Der wahre Wert ist ungefähr 3.0170881682725815

Ansonsten: keine Chance!

Keine Chance ?

Wie man diese fünfte Wurzel doch sehr schön und ohne große Rechnung recht exakt berechnen kann, habe ich in meiner Antwort gerade gezeigt !

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@rumar

In gewisser Weise hast du schon recht. Aber ich habe noch nie erlebt, dass jemand so aus dem Stand seinen "Newton" ausgepackt hat.

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Falls es wirklich um die fünfte Wurzel gehen soll, würde ich mit dem Newtonverfahren rechnen:

Gesucht ist die (positive) Nullstelle der Funktion  f(x)=x^5-250

Die Ableitungsfunktion davon ist  f'(x)=5*x^4

Nun beginnt man mit einem (durch Kopfrechnen geschätzten) Startwert, zum Beispiel  x0=3  (denn es ist ja 3^5=243, schon recht nahe bei 250).

Dann berechnet man (das geht mit schriftlichem Rechnen) den Wert x1 so:

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 3 - (243-250)/(5*3^4) = 3+7/405 = 3.017...

Dies ist schon recht genau. Wenn man es noch genauer haben will, fügt man einen weiteren Näherungsschritt an:

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)

Dies wird allerdings für das Rechnen "von Hand" dann doch schon recht umständlich. Der im ersten Schritt berechnete Wert 3.017 ist jedoch schon mit seinen sämtlichen angegebenen Dezimalstellen korrekt.

Das Beispiel eignet sich also wunderbar, um das Newtonverfahren vorzuführen.

Dann müsstest Du Dir die Formel suchen, die Du brauchst, um eine fünfte Wurzel zu berechnen.

Sonst kannst Du es einschätzen. 2⁵=32, 3⁵=243. Demnach muss die fünfte Wurzel knapp über 3 sein.

Alternativ könntest Du aus einer Logarithmentabelle den Logarithmus von 250 holen, diesen durch 5 teilen und nachschauen, was dabei herauskommt. Aber vermutlich wird heute nicht mehr mit Logarithmentabellen gearbeitet.

Wie schon in der anderen Antwort gezeigt kann man schnell herausfinden dass 15 vor dem Komma steht.
Dann ist die Differenz von 225 und 250 25. Diese Teilst du dann noch durch die Doppelte Basis und das Ergebnis ist dann 15+(25:2*15). Das ist nur ein ungefährer Wert auf ca. 2 Nachkommastellen, genauer geht es im Kopf nur schwer mittels durchprobieren, so macht es der TR auch.

Entschuldigung, habe mich auch verschaut, die 5. Wurzel geht nur noch mit probieren.

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Du kannst hier gucken, wie man schriftlich radiziert: http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm

Wenn du das rein im Kopf machen musst, kannst du nur ungefähr raten. 15² = 225. 16² = 256. Die gesuchte Zahl wird also 15 Komma irgendwas sein.

Was Du berechnen willst ist eine Quadratwurzel, in der Frage ging es um die fünfte Wurzel. Das ist ein großer Unterschied - im Verfahren und im Zahlenwert.

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@Kuno33

Oh, das "5." gehört noch zur Fragestellung dazu... Sorry, ich dachte das wäre die Nummer der Aufgabe. 

Da kann ich leider so auf Anhieb auch nicht helfen. 

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Meinst du da jetzt wirklich die fünfte Wurzel aus 250 ?

Oder soll die 5 nur die Nummer der Aufgabe sein, in welcher nach der (Quadrat-) Wurzel aus 250 gefragt wird ?

Wurzel lässt sich ja als basis^1/2 beschreiben soweit ich weiß; vllt ist das ja ein anfang

Sorry fünfte Wurzel bedeutet 250¹/⁵! Du hast das für die zweite Wurzel gelöst.

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