Wie rechnet man diese Zahl in eine Cosinus Zahl um ohne Taschenrechner?

5 Antworten

Viele spezielle Werte des Sinus und des Kosinus überlegt man sich am besten anhand des sogenannten Einheitskreises. Dort betrachtet man in einem Koordinatensystem ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x, y und der Hypothenuse 1. Da der Sinus eines Winkels definiert ist als Gegenkathete y durch Hypothenuse, ist dann der Sinus gerade gleich der Gegenkathete y (geteilt durch 1). Ebenso ist dann der Kosinus eines Winkels gleich Ankathete x durch Hypothenuse, gleich Ankathete x (geteilt durch 1).

Man sieht dann leicht:

sin(0) = sin(0°) = y/1 = y = 0, weil die Gegenkathete y = 0 wird, wenn der Winkel 0 ist.
sin(π/2) = sin(90°) = y/1 = y = 1, weil bei 90° die die Gegenkathete y = 1 wird.

Die entsprechenden Überlegungen kann man für den Kosinus anstellen. Oder man nutzt folgenden Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus aus:

(*) sin²(α) + cos²(α) = 1.

Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras.

Also ist
cos( 0 ) = √(1 – sin²(0)) = √(1 – 0) = 1
und
cos(π/2) = √(1 – sin²(π/2)) = √(1 – 1) = 0.

Für weitere spezielle Werte betrachten wir spezielle rechtwinklige Dreiecke im Einheitskreis. Z. B. ist für den Winkel π/4 = 45° das Dreieck gleichschenklig, also die Gegenkathete y gleich der Ankathete x. Dann folgt aber
sin( π/4 ) = y = x = cos( π/4 ) und daher wegen (*)

1 = sin²(π/4) + cos²(π/4) = sin²(π/4) + sin²(π/4) = 2sin²(π/4), also

sin²(π/4) = 1/2 bzw. sin(π/4) = √(1/2) = 1/√2 = (√2)/2 und ebenso
cos(π/4) = sin(π/4) = (√2)/2.

Für Winkel zwischen π/2 und π kann man die Symmetrien im Einheitskreis nutzen. Danach gilt z. B.

sin(π/2 + α) = sin(π/2 – α) und
cos(π/2 + α) = –cos(π/2 – α),

also auch

sin(3π/4) = sin(π/2 + π/4) = sin(π/2 – π/4) = sin(π/4) = (√2)/2 und
cos(3π/4) = cos(π/2 + π/4) = –cos(π/2 – π/4) = –cos(π/4) = –(√2)/2.

Informationen zu weiteren wichtigen Funktionswerten von Sinus und Kosinus finden sich in diesem Wikipedia-Artikel.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche

Relativ einfach: (Eine Möglichkeit!)

Zuerst wandelst du die 3pi/4 um in Grad.

Es gilt :



Also gilt jetzt:

Jetzt kommt der Additionstheorem vom Sinus ins Spiel :

Es gilt :

uns so :

Voraussetzung sind jedoch das Wissen von 45°.

Woher ich das weiß:Hobby – Schüler.

mit Pythagoras am Einheitskreis.

3*pi/4 entspricht 135° = 90° + 45°

Sprich: das sind 45° im 2. Quadranten.

Der Radius ist also die Diagonale eines Quadrates, der Kosinus die Seite des Quadrates. also 1/Wurzel(2). Da es der 2.Quadrant ist, ist der Kosinus negativ.

ganz easy. 2 pi ist 360grad. der rest dürfte klar sein. somit ist ein pi 90 usw. entsprechend noch sinus/cosinus.

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