Wie rechnet man diese Matheaufgabe zur Polynomdivision?

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5 Antworten

Bei der Polynomdivision dividierst Du immer den Summanden mit der höchsten Potenz (also das x mit dem größten Exponenten) durch das höchste x im Nenner. Also hier beginnst Du mit x²:2x = x/2. Das ist der erste Teil der Lösung. Dieses Ergebnis multiplizierst Du jetzt mit dem kompletten Nenner, also x/2 * (2x-2) = x²-x. Dieses Ergebnis schreibst Du unter den "Zählerterm" und ziehst das davon ab, also hier (x²-3x) - (x²-x) = -2x. Das ist der "neue Rest", den Du jetzt durch 2x (aus dem Nenner) teilen musst, also -2x:2x=-1. Damit hast Du als "neuen Zwischenstand" der Lösung =x/2-1. Jetzt die -1 * (2x-2) ausrechnen und links unter die -2x schreiben und abziehen. Neuer Rest ist dann: -2x-(-2x+2)=-2

Bei diesem Rest ist der Exponent von x kleiner als der im Nenner (-2=-2x^0), somit ist die Polynomdivision hier zu Ende und -2/(2x-2) ist der letzte Teil der Lösung, gekürzt -1/(x-1)

Somit ist die Lösung:

(x²-3x):(2x-2) = x/2-1-1/(x-1)

D. h., Deine Musterlösung ist falsch!

Also sei der Ausdruck:  (x^2 - 3x)/(2x - 2) =   , gegeben.

Zunächst ziehen wir die 2 im Nenner raus, es folgt:

(x^2 - 3x)/(2x - 2) = 0,5*(x^2 - 3x)/(x - 1)

Wir versuchen nun den Zähler in Vielfache von (x - 1) zu zerlegen., daher betrachte zunächst den Zähler isoliert:

x^2 - 3x = x*(x - 3)

Die (x - 3) sieht schon ähnlich aus wie x - 1, wir schreiben also um zu:

x - 3 = (x - 1) - 2

Einsetzen in den vorherigen Ausdruck liefert:

x^2 - 3x = x*(x - 3)

= x*( (x - 1) - 2) = x*(x - 1) - 2x

Einsetzen in den anfänglichen Ausdruck liefert:

0,5*(x*(x - 1) - 2x)/(x - 1) = 0,5*(x - 2*x/(x - 1))

Als nächstes gilt es also:    x/(x - 1) , zu vereinfachen.

Betrachte erneut den Zähler isoliert und bringe ihn auf eine Form in der (x - 1) als Produkt enthalten ist:

x = x - 1 + 1 = (x - 1) + 1

Einsetzen in den vorherigen Ausdruck liefert dann:

((x - 1) + 1)/(x - 1) = 1 + 1/(x - 1)

Wir sind am Ende angekommen, der Rest   1/(x - 1)   lässt sich nicht weiter sinnvoll vereinfachen.

Alles zusammen ergibt also:


0,5*(x^2 - 3x)/(x - 1) =  0,5*(x - 2*x/(x - 1))

= 0,5*(x - 2*(1 + 1/(x - 1)))

Auflösen der Klammern liefert dann schließlich:

= 0,5( x - 2 - 2/(x - 1)) = 0,5*x - 1 - 1/(x - 1)


Damit erhalten wir also entgültig:


(x^2 - 3x)/(2x - 2) =   0,5*x - 1 - 1/(x - 1)


Es gibt zu der Rechnung auch ein algorithmischeres Vorgehen, welches analog zu der schriftlichen Division funktioniert. Informationen dazu findest du hier:

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/polynomdivision.html

https://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/sfs0001.htm

(2-ter Link ist eine Schritt für Schritt Rechnung)

poseidon42 12.10.2016, 00:18

Noch an einem anderen Beispiel:

f(x) = (5x^2 - 7x  + 10)/(x + 3)

wir betrachten den Zähler:

5x^2 - 7x  + 10 = x*(5x - 7) + 10

= x*(5x + 5*3 - 5*3 - 7) + 10

= x*(5x + 15) - 22x + 10

= x*5*(x + 3) - (22x + 22*3 + 10 - 22*3)

= 5x*(x + 3) - 22(x + 3) - 10 + 22*3

= 5x*(x + 3) - 22(x + 3) + 56

---> f(x) = (5x*(x + 3) - 22(x + 3) + 56)/(x + 3)

---> f(x) = 5x - 22 + 56/(x + 3)

1
poseidon42 12.10.2016, 00:24

Hier ein Beispiel für eine höhere Potenz im Nenner:

Sei  f(x) = (3x^3 - 2x^2 + x - 1)/(x^2 + 1)

Betrachte den Zähler:

3x^3 - 2x^2 + x - 1 = x*(3x^2 - 2x + 1) - 1

= x*(3x^2 + 1 + 2 - 2) - 2x^2 - 1

= 3x*(x^2 + 1) - 2x - 2x^2 - 1

= 3x*(x^2 + 1) - (2x^2 + 2x + 1)

= 3x*(x^2 + 1) - (2x^2 + 1 - 1 + 1) - 2x

= 3x*(x^2 + 1) - 2*(x^2 + 1) - 2x + 1

----> f(x) = (3x*(x^2 + 1) - 2*(x^2 + 1) - 2x + 1)/(x^2 + 1)

----> f(x) = 3x - 2 + (1 - 2x)/(x^2 + 1)

1

(x^2 - 3*x) :(2*x-2)= 1/2 * x - 2*x/(2 *x-2)

2 *x - 2) * 1/2 *x =x^2 - x subtrahiert von (x^2 -3*x) - (x^2 - x= - 2*x

Rest ist - 2 *x)/(2*x - 2)= -2 *x/2 *(x -1)

also (...) :(...)= 0,5 * x +Rest

Ergebnis =0,5 *x - x/(x-1=

Probe : x= 2 eingesetzt (2^2 - 3*2) :(2*2 -2)= - 1

0,5 *2 - 2/(2-1)= - 1

Hinweis : Die Division geht nicht glatt auf,deshalb der Rest.

Das geht im Prinzip wie die schriftliche Division von einfachen Zahlen. Du fängst damit an, daß du in beiden Polynomen das Glied mit dem höchsten Exponenen suchst und dann das dividierst. Im ersten Polynom ist es x² im zweiten 2x. Also dividierst du die x² durch die 2x. So kommst auf die x/2. Das zurückmultipliziern mit den 2x-2 und das unter die Klammer setzen und das vn der oberne Zeile subtrahieren. Dann sucht du in der neuen Zeile wieder die höchsten Exponenten. Du hast da nur noch ein 4x stehen. Das wieder durch die 2x dividiert und so hast du die 2 dort stehen. Auch die wieder zurückmultiplizieren. unter die linke klammer schreiben und von der oberen Zeile abziehen. Dann hast du da nur noch 2 dort stehen. Auch die wieder durch das 2. Polynom dividieren. Das ist die 2/(x-). Beim zurürückmultiplizieren und subtrahieren bleibt dann kein Rest mehr.

Die Polynomdivision funktioniert ganz ähnlich wie die "normale" schriftliche Division. Hier mal ein Beispiel:

(2x^2 + x - 1) : (x+1) = ?

->  (x+1) * ?' = 2x^2 + ...  -> ?' = 2x

  (2x^2 + x - 1) : (x+1) = 2x + ...
- (2x^2+2x)
  -----------------
            -x - 1

->  (x+1) * ?'' = -x - 1 + ...  -> ?'' = -1


  (2x^2 + x - 1) : (x+1) = 2x - 1
- (2x^2+2x)
  -----------------
             - x - 1
          - (-x - 1)
             --------
                    0

Falls du noch weitere Erklärungen brauchst, melde dich einfach :)

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