Wie rechnet man das Volumen einer quadratischen Pyramide aus, wenn die Höhe nicht gegeben ist?

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3 Antworten

M= 4 • a • hs / 2

also hs = M /(2a) und hs berechnen;

dann Pythagoras (Skizze)

h² = hs² - (a/2)² und h berechnen.

Die Quadratwurzel aus dem gegebenen Flächeninhalt Ag der Grundfläche ist die Seitenlänge a der quadratischen Pyramide:
a = W ( Ag )
Aus der Formel für die Mantelfläche M einer quadratischen Pyramide:
M = a * W ( 4 h ² + a ² )
ergibt sich durch Umformung nach h:
h = W ( ( ( M / a ) ² - a ² ) / 4 )
.
Hier kann man nun statt a noch W ( Ag ) schreiben (siehe oben) und erhält:
h = W ( ( ( M ² / Ag ) - Ag ) / 4 )
<=>
h = ( 1 / 2 ) * W ( ( M ² / Ag ) - Ag )
.
In diese Formel kann man nun die bekannten Werte für den Grundflächeninhalt Ag und den Mantelflächeninhalt M einsetzen und dann die Höhe ausrechnen.

Für jede Unbekannte braucht man eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar !!!

V=1/3 * Ag * h und Ag=a*a=a^2  Die Mantelfläche besteht aus 4 Dreiecke also Ad=M/4 hier ist Ad die Fläche eines Dreiecks.

Dieses Dreieck teilen wir in 2 rechtwinklige Dreiecke auf Ar=1/2 * a *b

somit ist Ad=1/2 * a/2 * s * 2=1/2 * a *s hier ist s die Mittellinine des Dreiecks an der Pyramidenseite.

Nun stellen wir in der Pyramide ein "Stützdreieck" auf,was auch ein rechtwinkliges Dreieck ist . Hier sind h (Höhe der Pyramide) und a/2 die beiden Khateten des Dreiecks und s ist die Hypotenuse.

Satz des Pythagoras c^2=a^2 +b^2 ist hier

s^2=(a/2)^2 + h^2 ergibt h^2=s^2 - a^2/4  ergibt h=Wurzel(s^2 - a^2/4

aus Ad=1/2 *a *s ergibt s=Ad * 2/a  ergibt h=(ad *2/a)^2 - a^2/4

eingesetzt in V=1/3 * a^2 * h=1/3 *a^2 * (Ad * 2/a)^2 - a^2/4 

Mit Ad= Mantelfläche /4=M/4

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