Wie rechnet der Taschenrechner Sinus und Kosinus aus?

8 Antworten

Es gibt sicherlich seit weit über 100 Jahren Tabellen zum heraus lesen. Wir hatten keinen Rechner und haben die Tabellen genutzt. Für Zwischenwerte mussten wir Interpolieren. Die Tabelle ist im Rechner!

Eine auch nur halbwegs genaue Tabelle würde viel Speicherplatz benötigen - das wäre zwar heute kein großes Problem mehr, ältere Taschenrechnern hätten diesen Platz aber nicht gehabt.

Und das "Heraussuchen" des Wertes aus der Tabelle würde fast genau so viel Rechenzeit benötigen wie die Berechnung über die (Näherungs-)Formel (s. Antwort von clemensw). Nach der gleichen Formel haben übrigens die "alten Mathematiker" in mühsamer "Handarbeit" die Werte für die Tabellen ausgerechnet.

Freut mich aber, dass es noch Leute gibt, die mit solchen Tabellenwerken noch umgehen können ;-)

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Die ersten Computer haben tatsächlich die trigonometrischen Funktionen über z.B. Taylorreihen berechnet. Da aber kleine Rechner mit einfachem Aufbau (z.B. für das Militär) gefordert waren, hat man neue, einfachere, schnellere Berechnungsverfahren in den 1960er Jahren entwickelt. Zum Beispiel Cordic (Pseudomultiplikation, -Division), da kommt der Rechner nur mit Additionen, Subtraktionen und Verschieben der Zahlen aus. Auch die ersten wissenschaftlichen Taschenrechner wie der HP-35 von Hewlet-Packard (1969) haben mit Cordic gerechnet, weil für diesem Algorithmus nur ein einfacher Chipaufbau nötig war. Sei den späten 1980er Jahren gibt es aber weiterentwickelte Chips, die auch dividieren und multiplizieren und kleine Tabellen speichern können. Von daher ist es möglich, das heutige Taschenrechner wieder mit Taylorreihen, Kettenbrüchen, etc. arbeiten. Es sind übrigens nicht alle Taylorreihen geeignet (ich habe etliche Reihen mit einem Tabellenkalkulationsprogramm simuliert): Die Taylor-Sinus- und Cosinusreihe genau bis knapp 180 Grad, auch mit wenigen Gliedern. Alle anderen Reihen, auch die Arcus-Reihen werden immer ungenauer, um so näher man 90 Grad (in Rad) kommt. Man kann aber den Tangens z.B. über sin/cos berechnen, die Arcusfunktionen über den Arcustangens, wenn man den Wert mehrfach halbiert (siehe trig.- Formelsammlung Wikipedia) und nach der Berechnung durch die Taylorreihe (oder dem Kettenbruch) wieder vervielfacht. Und arctan kann man leicht in arcsin, arccos umrechnen. Es ist also möglich, mit z.B. der Sinus-Reihe und dem Arcustangens alle Winkelfunktionen zu berechnen. Den Logarithmus (und e hoch x) bekommt man übrigens über die Taylorreihen auch recht gut berechnet. Es hat mal jemand in einem Forum berichtet, dass er verschiedene Firmen angeschrieben hat, die Taschenrechner herstellen. Er wollte wissen, wie die Rechner intern arbeiten. Die Firmen haben auf das Betriebsgeheimnis hingewiesen und haben nicht verraten, wie ihre TR rechnen...

Gruß- Jxxx

Mit der Reihenentwicklung kannst du den Sinus/Cosinus immer schriftlich ausrechnen, dauert nur unendlich lange. Ich glaube der Taschenrechner liest die Werte einfach aus einer Tabelle ab.

Aber dann müsste die Tabelle ja undendlich lang sein. Ich meine, wenn ich jetztz zb Sin(7,23487481974349843) hat der ja auch ein Ergebnis, und ich glaube nicht, dass solche Werte in der Tabelle stehen, sollte es eine geben

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@Amago

Der gibt ja auch nicht den exakten Wert an (weil der i.d.R. irrational ist), sondern nimmt den nächstbesten.

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@iokii

Die (Näherungs-)Formel (s. Antwort von clemensw) benötigt viel weniger Speicherplatz als jede Tabelle mit auch nur halbwegs ähnlicher Genauigkeit. Und das "Heraussuchen" des Wertes aus der Tabelle würde fast genau so viel Rechenzeit benötigen wie die Berechnung über die Formel.

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