Wie rechne ich die höhe eines Algemeinen Dreiecks aus, wenn ich nur Alpha und Betha gegeben habe?

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5 Antworten

Du hast folgendes gegeben:

α = 50°, β = 40°, c = 11cm

Somit kannst du den dritten Winkel berechnen:

γ = 180° - α - β = 180° - 50° - 40° = 90°

Somit ist dein Dreieck sicher rechtwinklig, γ ist der rechte Winkel und c ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, und somit die Hypotenuse.

Du kennst die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Damit kannst du nun die fehlenden Seiten berechnen.

sin α = a/c
=> a = sin α * c = sin 50° * 11cm = ca. 8,43cm

cos α = b/c
=> b = cos α * c = cos 50° * 11cm = ca. 7,07cm

a = 8,43cm, b = 7,07cm, c = 11cm

Die Höhe ist nun ein Lot auf der Hypotenuse zum rechten Winkel, somit entsteht ein neues Dreieck, das seinen rechten Winkel zwischen der Höhe und der Hypotenuse hat.

Also können wir berechnen, wie viel des vorherigen rechten Winkels nun in unserem Teildreieck links von der Höhe liegt:
(δ ist der neue rechte Winkel)

γ1 = 180° - α - δ = 180° - 50° - 90° = 40°

Somit haben wir vom linken Teildreieck folgende Eigenschaften gegeben:

α = 50°
δ = 90°
γ1 = 40°
b = ca. 7,07cm

b ist damit die Hypotenuse und wir können mit dem Sinus von α die Höhe berechnen:

sin α = h/b
=> h = sin α * b = sin 50° * 7,07cm = ca. 5,42cm

Also beträgt die Höhe etwa 5,42cm.

Die gesamte Rechnung zusammengefasst wäre:
h = sin α * cos α * c = sin 50° * cos 50° * 11cm = ca. 5,416442641567144cm

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Wenn keinerlei Seitenlänge gegeben ist, dann helfen α und β auch nicht dabei, irgendetwas anderes als nur γ noch auszurechnen, nämlich per Winkelsummensatz.

Das Dreieck selbst könnte ganz groß oder ganz klein sein (im Kilometer- oder im Millimeterbereich), oder auch mittelgroß (meter- oder zentimetergroß).

Es gibt also unendlich viele Lösungsmöglichkeiten für die Höhe, solange keine Seitenlänge bekannt ist.

Hast du jedoch nur eine einzige Seitenlänge, dann kannst du sofort ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, dessen eine Kathete die gesuchte Höhe ist. Die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks ist die dir bekannte Seitenlänge. Dann rechnest du mittels des Sinus oder des Cosinus des Winkels α oder β die Länge der Kathete aus.

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Wenn man die beiden Winkel addiert, sind es 90°. Damit ist γ = 90°. Wir haben es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun.  Überdies ist c gegeben, wie wir hören. In diesem Dreieck gilt:

sin α = a/c          a = c * sin α
sin ß = b/c          b = c * sin ß
sin α = h/b          h = b * sin α       im Teildreieck ist b die Hypotenuse

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ß = beta

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Denke nicht das das ohne zumindest eine Seite geht

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Kommentar von Anonym6110
08.05.2016, 16:07

tut mir leid habe ich vergessen zu schreiben... ich habe c = 11 cm gegeben

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Kommentar von Anonym6110
08.05.2016, 16:07

alpha=50° und Betha = 40°

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Kommentar von Anonym6110
08.05.2016, 16:09

und wie wende ich die Winkel funktion richtig an, wenn ich h haben möchte?

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Kommentar von Anonym6110
08.05.2016, 16:13

Danke sehr

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Kannst du vielleicht ne Skizze machen wo die Seiten sind , dann rechne ich es dir aus mit erklärung. is so wa schwierig

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